Suponha que
sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro
. Faça
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que
são independentes e cada uma tem distribuição de Poisson com parâmetro
. Definimos
e queremos calcular
. O conteúdo principal aqui é a propriedade de que soma de Poisson independentes é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros.
Passo 2
Como cada
e são independentes, vale
Passo 3
Para uma Poisson de parâmetro
,
E em geral
Passo 4
Calculando termo a termo com
:
Passo 5
Somando esses três termos:
Como
, temos
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