Suponha que X_{1}, \ldots, X_{50} sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=0,03. Faça S=X_{1}+\cdots+X_{50}. Calcule P(S \geq 3).

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{50} são independentes e cada uma tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=0,03. Definimos
S = X_{1} + \cdots + X_{50}
e queremos calcular P(S \ge 3). O conteúdo principal aqui é a propriedade de que soma de Poisson independentes é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros.

Passo 2

Como cada X_i\sim\text{Pois}(0,03) e são independentes, vale
S\sim\text{Pois}\bigl(50\times0,03\bigr)=\text{Pois}(1,5).

Passo 3

Para uma Poisson de parâmetro \mu=1,5,
P(S\ge3)=1 - P(S\le2) =1 - \bigl[P(S=0)+P(S=1)+P(S=2)\bigr].
E em geral
P(S=k)=e^{-\mu}\,\frac{\mu^{k}}{k!}.

Passo 4

Calculando termo a termo com \mu=1,5:
P(S=0)=e^{-1,5}\frac{1,5^{0}}{0!}=e^{-1,5},
P(S=1)=e^{-1,5}\frac{1,5^{1}}{1!}=1,5\,e^{-1,5},
P(S=2)=e^{-1,5}\frac{1,5^{2}}{2!}= \frac{2,25}{2}\,e^{-1,5}=1,125\,e^{-1,5}.

Passo 5

Somando esses três termos:
P(S\le2) =e^{-1,5}\bigl(1 + 1,5 + 1,125\bigr) =e^{-1,5}\times3,625.
Como e^{-1,5}\approx0,22313, temos
P(S\le2)\approx0,22313\times3,625\approx0,80885,
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P(S\ge3)=1 - 0,80885\approx0,19115.

Resposta

P(S\ge3)\approx0,1912.

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