Questão 02: Considere o íon carbono \mathrm{C}^{+}(\mathrm{Z}=6), pede-se.
a) os números quânticos do último nível energético do \mathrm{C}^{+}.
b) a energia em elétrons-volts necessária para excitar um elétron do orbital 2 p para o orbital 6 s
c) o comprimento de onda da transição eletrônica

Passo 1

O enunciado trata do íon carbono C^{+} (Z =6) cuja configuração eletrônica é 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}. Pede-se:
a) os números quânticos do elétron no último nível ocupado (2p),
b) a energia (em eV) necessária para excitar esse elétron de 2p para 6s usando o modelo de elétron em átomo com carga efetiva (Slater + Rydberg),
c) o comprimento de onda dessa transição pela relação de Planck–Einstein.

Passo 2

Primeiro achamos os números quânticos do elétron em 2p. Como é um elétron em orbital p:
n =2 (principal),
l =1 (secundário, p),
mₗ pode ser –1, 0 ou +1; para fixar escolhemos mₗ =+1,
mₛ =+½ (spin para um elétron desemparelhado).

Passo 3

Aplicamos as regras de Slater para calcular Zₑᶠᶠ em 2p. Para esse elétron:
– outros elétrons no mesmo nível (2 s^{2}) contribuem 2\times 0,35=0,70,
– elétrons em n =1 (1 s^{2}) contribuem 2\times 0,85=1,70.
Assim a constante de blindagem é
\sigma_{2p} = 0,70 + 1,70 = 2,40
e
Z_{\text{efetivo},2p} = Z - \sigma_{2p} = 6 - 2,40 = 3,60.
A energia do nível 2p, no modelo de Rydberg, é
E_{2p} = -13,6\;\frac{Z_{\text{efetivo},2p}^2}{2^2} = -13,6\;\frac{(3,60)^2}{4} = -44,06\\ \text{eV}.

Passo 4

Agora Zₑᶠᶠ em 6s. Não há elétrons em n =6 nem em n =5, e todos os 5 elétrons restantes (1 s^{2}2 s^{2}2 p^{1}) são de n <=4, cada um contribui 1,00:
\sigma_{6s} = 5,00,\quad Z_{\text{efetivo},6s} = 6 - 5 = 1.
A energia do nível 6s é
E_{6s} = -13,6\;\frac{1^2}{6^2} = -13,6\;\frac{1}{36} \approx -0,378\\ \text{eV}.

Passo 5

A energia de excitação (diferença entre os níveis) é
\Delta E = E_{6s} - E_{2p} = -0,378 - (-44,06) = 43,68\\ \text{eV}.

Passo 6

O comprimento de onda associado vem de \lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}. Com hc=1240\\ \text{eV\cdotnm}:
\lambda = \frac{1240}{43,68}\approx 28,4\\ \text{nm} = 2,84\times10^{-8}\\ \text{m}.

Resposta

a) \displaystyle n=2,\\ l=1,\\ m_\ell=+1,\\ m_s=+\tfrac12
b) \displaystyle \Delta E\approx 43,7\\ \text{eV}
c) \displaystyle \lambda\approx 28{,}4\\ \text{nm}

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