Questão 03: Considere dois corpos (A e B) de massas de 1,5 \times 10^{-37} \mathrm{Kg} e 6 \times 10^{21} ton, respectivamente. Determine:
a) os comprimentos de onda de De Broglier para ambos os corpos.
b) a incerteza na posição para cada objeto supondo as seguintes velocidades (A=80% \times c, B=1200 km/h)

Passo 1

O enunciado dá dois corpos A e B com massas
m_A = 1,5\times10^{-37}\,\mathrm{kg},
m_B = 6\times10^{21}\,\mathrm{t},
e pede:
a) os comprimentos de onda de De Broglie \lambda = \frac{h}{p} para cada um;
b) a incerteza mínima na posição \Delta x usando o princípio de Heisenberg \Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}, supondo velocidades
v_A = 0{,}8\,c,\quad v_B = 1200\,\mathrm{km/h}.
Vamos precisar de h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, c = 3{,}0\times10^8\,\mathrm{m/s} e \hbar = \frac{h}{2\pi}.

Passo 2

Convertendo a massa de B para quilogramas:
m_B = 6\times10^{21}\,\mathrm{t}\times1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{t}} = 6\times10^{24}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

Corpo A (relativístico):
v_A =0{,}8,c =0{,}8\times3{,}0\(times10^{8} =2){,}4\(times10^{8}),\mathrm{m/s}.
O fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = 1{,}6667.
O momento é
p_A = \gamma\,m_A\,v_A = 1{,}6667\times1{,}5\times10^{-37}\times2{,}4\times10^{8} = 6{,}0\times10^{-29}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Logo o comprimento de onda
\lambda_A = \frac{h}{p_A} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{6{,}0\times10^{-29}} \approx 1{,}10\times10^{-5}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Corpo B (não relativístico):
v_B =1200,\mathrm{km/h} = \frac{1200\(times10^3)}{3600} =3,333\(times10^2),\mathrm{m/s}.
O momento é
p_B = m_B\,v_B = 6\times10^{24}\times3{,}333\times10^2 = 2{,}0\times10^{27}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
O comprimento de onda
\lambda_B = \frac{h}{p_B} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{2{,}0\times10^{27}} \approx 3{,}31\times10^{-61}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Para a incerteza na posição usamos
\Delta x \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta p}
e supondo \Delta p\approx p, temos
\Delta x_A = \frac{\hbar}{2\,p_A} = \frac{6{,}626\times10^{-34}/(2\pi)}{2\times6{,}0\times10^{-29}} \approx 8{,}8\times10^{-7}\,\mathrm{m},
\Delta x_B = \frac{\hbar}{2\,p_B} = \frac{6{,}626\times10^{-34}/(2\pi)}{2\times2{,}0\times10^{27}} \approx 2{,}6\times10^{-62}\,\mathrm{m}.

Resposta

a) \displaystyle \lambda_A \approx 1{,}1\times10^{-5}\,\mathrm{m},\quad \lambda_B \approx 3{,}3\times10^{-61}\,\mathrm{m}.
b) \displaystyle \Delta x_A \approx 8{,}8\times10^{-7}\,\mathrm{m},\quad \Delta x_B \approx 2{,}6\times10^{-62}\,\mathrm{m}.

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