Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln (n!)}{n!} x^{n}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln(n!)}{n!}\,x^{n}.
O que nos pedem:
Determinar o raio de convergência da série.
Em seguida, encontrar o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações relevantes dadas: os coeficientes da série são
c_n=\frac{\ln(n!)}{n!}\quad\text{para }n\ge 1.
Passo 2
Vamos usar uma fórmula padrão para raio de convergência. Para uma série de potências
Pelo critério usado (quando esse limite existe finito ou infinito), isso significa que o raio de convergência é
R=+\infty.
Passo 6
Interpretação e intervalo de convergência: um raio R=+\infty significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}). Podemos também observar que a convergência é absoluta para qualquer x, pois os coeficientes decaem muito rápido (fatorial no denominador). Logo o intervalo de convergência no eixo real é todo (-\infty,\infty).
Resposta
Raio de convergência: \infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)