Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln (n!)}{n!} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln(n!)}{n!}\,x^{n}.
O que nos pedem:
  • Determinar o raio de convergência da série.
  • Em seguida, encontrar o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações relevantes dadas: os coeficientes da série são
c_n=\frac{\ln(n!)}{n!}\quad\text{para }n\ge 1.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula padrão para raio de convergência. Para uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n,
o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}}.
Outra fórmula útil, quando existe o limite \lim_{n\to\infty} \frac{c_n}{c_{n+1}}, é
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.
Aqui vamos aplicar a segunda (é mais direta). No nosso caso c_n=\frac{\ln(n!)}{n!}.

Passo 3

Calculo da razão entre coeficientes adjacentes:
\frac{c_n}{c_{n+1}} =\frac{\displaystyle\frac{\ln(n!)}{n!}}{\displaystyle\frac{\ln((n+1)!)}{(n+1)!}} =(n+1)\,\frac{\ln(n!)}{\ln((n+1)!)}.
Agora use a identidade \ln((n+1)!)=\ln(n!)+\ln(n+1) para reescrever:
\frac{c_n}{c_{n+1}} =(n+1)\,\frac{\ln(n!)}{\ln(n!)+\ln(n+1)} =\frac{n+1}{\,1+\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n!)}\,}.

Passo 4

Mostramos que \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n!)}\to 0 quando n\to\infty. Para isso basta uma estimativa simples e rígida: para n\ge 2 temos
\ln(n!)=\sum_{k=1}^{n}\ln k \ge \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor+1}^{n}\ln k \ge \frac{n}{2}\ln\!\left(\frac{n}{2}\right).
Logo
0\le \frac{\ln(n+1)}{\ln(n!)} \le \frac{\ln(n+1)}{\tfrac{n}{2}\ln\!\left(\tfrac{n}{2}\right)}.
O membro à direita tende a 0 quando n\to\infty, portanto
\frac{\ln(n+1)}{\ln(n!)}\to 0.

Passo 5

Com a observação anterior, voltamos à razão entre coeficientes:
\frac{c_n}{c_{n+1}} =\frac{n+1}{\,1+\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n!)}\,} \sim n+1\quad\text{quando }n\to\infty,
portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{c_{n+1}}=+\infty.
Pelo critério usado (quando esse limite existe finito ou infinito), isso significa que o raio de convergência é
R=+\infty.

Passo 6

Interpretação e intervalo de convergência: um raio R=+\infty significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}). Podemos também observar que a convergência é absoluta para qualquer x, pois os coeficientes decaem muito rápido (fatorial no denominador). Logo o intervalo de convergência no eixo real é todo (-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: \infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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