QUESTÃO 02
Durante a execução do Hino Nacional Brasileiro no pátio de uma escola, os alunos ficaram organizados em m filas, com n alunos em cada uma delas. Sabe-se que havia mais de 5 filas e mais de 5 alunos em cada fila. Ao todo, havia 221 alunos no pátio. O valor correto da soma m+n é
a) 15 .
b) 20 .
c) 25 .
d) 30.
e) 35 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • Havia m filas com n alunos em cada fila.
  • Sabe-se que havia mais de 5 filas e mais de 5 alunos em cada fila, ou seja m>5 e n>5.
  • Ao todo havia 221 alunos, ou seja
m\cdot n = 221.
O que o problema pede: encontrar o valor de m+n.

Passo 2

Estratégia clara e simples para achar m e n: como m e n são inteiros positivos e o produto é 221, precisamos fatorar 221 e encontrar um par de fatores inteiros m e n que satisfaçam as desigualdades m>5 e n>5. Então vamos buscar os divisores inteiros de 221.

Passo 3

Lembrete rápido sobre como fatorar por tentativa (trial division):
  • Para decidir se um número N é composto e encontrar fatores, basta testar divisores primos menores ou iguais a \sqrt{N}.
  • Aqui N=221. Calcular aproximadamente \sqrt{221}: \sqrt{225}=15, logo \sqrt{221} é um pouco menor que 15, aproximadamente 14{,}9. Portanto basta testar primos até 13.

Passo 4

Testes de divisibilidade (todos os números citados são escritos em fórmulas):
  • Teste por 2: 221 é ímpar, não divisible por 2.
  • Teste por 3: soma dos dígitos 2+2+1=5, não é múltiplo de 3.
  • Teste por 5: termina em 1, não é múltiplo de 5.
  • Teste por 7: 7\cdot31=217, sobra 4, então não divide.
  • Teste por 11: 11\cdot20=220, sobra 1, então não divide.
  • Teste por 13: vamos dividir 221 por 13. Uma forma rápida é ver que 13\cdot10=130 e 221-130=91. E 13\cdot7=91. Então
221 = 13\cdot(10+7)=13\cdot17.
Portanto 13 é divisor de 221 e encontramos a fatoração completa (já que 17 é primo e maior que 13).

Passo 5

Agora temos os pares de fatores positivos de 221: (1,221), (13,17) e também os inversos (221,1), (17,13). Como o enunciado exige m>5 e n>5, o único par que satisfaz ambas as condições é
(m,n)=(13,17)\quad\text{ou}\quad(m,n)=(17,13).
Em qualquer caso, m+n tem o mesmo valor.

Passo 6

Calcular a soma:
m+n = 13+17 = 30.

Resposta

30

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