QUESTÃO 02
Durante a execução do Hino Nacional Brasileiro no pátio de uma escola, os alunos ficaram organizados em m filas, com n alunos em cada uma delas. Sabe-se que havia mais de 5 filas e mais de 5 alunos em cada fila. Ao todo, havia 221 alunos no pátio. O valor correto da soma
é
a) 15 .
b) 20 .
c) 25 .
d) 30.
e) 35 .
Durante a execução do Hino Nacional Brasileiro no pátio de uma escola, os alunos ficaram organizados em m filas, com n alunos em cada uma delas. Sabe-se que havia mais de 5 filas e mais de 5 alunos em cada fila. Ao todo, havia 221 alunos no pátio. O valor correto da soma
a) 15 .
b) 20 .
c) 25 .
d) 30.
e) 35 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- Havia
filas com alunos em cada fila. - Sabe-se que havia mais de
filas e mais de alunos em cada fila, ou seja e . - Ao todo havia
alunos, ou seja
O que o problema pede: encontrar o valor de
.
Passo 2
Estratégia clara e simples para achar
e
: como
e
são inteiros positivos e o produto é
, precisamos fatorar
e encontrar um par de fatores inteiros
e
que satisfaçam as desigualdades
e
. Então vamos buscar os divisores inteiros de
.
Passo 3
Lembrete rápido sobre como fatorar por tentativa (trial division):
- Para decidir se um número
é composto e encontrar fatores, basta testar divisores primos menores ou iguais a . - Aqui
. Calcular aproximadamente : , logo é um pouco menor que , aproximadamente . Portanto basta testar primos até .
Passo 4
Testes de divisibilidade (todos os números citados são escritos em fórmulas):
- Teste por
: é ímpar, não divisible por . - Teste por
: soma dos dígitos , não é múltiplo de . - Teste por
: termina em , não é múltiplo de . - Teste por
: , sobra , então não divide. - Teste por
: , sobra , então não divide. - Teste por
: vamos dividir por . Uma forma rápida é ver que e . E . Então
Portanto
é divisor de
e encontramos a fatoração completa (já que
é primo e maior que
).
Passo 5
Agora temos os pares de fatores positivos de
:
,
e também os inversos
,
. Como o enunciado exige
e
, o único par que satisfaz ambas as condições é
Em qualquer caso,
tem o mesmo valor.
Passo 6
Calcular a soma: