Seja
\vec{H}=\left(\frac{4 x}{x^{2}+1}, z^{2}+\theta(y), 2 y z\right) \text { e } \vec{\gamma}(t)=\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}, \cos ^{2}(\pi t), \frac{e^{t}-1}{l-1}\right)
\theta(y) contínua, t \in[0,1]. Calcule
\int_{\gamma} \vec{H} \cdot \overrightarrow{d l}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{H}(x,y,z)=\Bigl(\frac{4x}{x^{2}+1},\;z^{2}+\theta(y),\;2yz\Bigr)
e a curva paramétrica
\vec{\gamma}(t)=\Bigl(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1},\;\cos^{2}(\pi t),\;\frac{e^{t}-1}{e-1}\Bigr), \quad t\in[0,1].
Pede-se calcular
\int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell}.
O conteúdo é integral de linha em campo conservativo. Vamos mostrar que \vec H é gradiente de alguma função potencial e, em seguida, usar
\int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr).

Passo 2

Verificamos que \vec H é conservativo conferindo que seu rotacional é zero. Chamando
H_{1}=\frac{4x}{x^{2}+1},\; H_{2}=z^{2}+\theta(y),\; H_{3}=2yz,
temos
\frac{\partial H_{1}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial H_{2}}{\partial x}=0,
\frac{\partial H_{1}}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial H_{3}}{\partial x}=0,
\frac{\partial H_{2}}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial H_{3}}{\partial y}=2z.
Como todas as igualdades \frac{\partial H_{i}}{\partial j}=\frac{\partial H_{j}}{\partial i} se cumprem, \nabla\times\vec H=\vec 0 e o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma potencial f(x,y,z) tal que
\nabla f=\vec H.
  1. Integramos em x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4x}{x^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad f(x,y,z)=2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C(y,z).
  1. Diferenciamos essa expressão em y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial C}{\partial y} \stackrel{!}{=}H_{2}=z^{2}+\theta(y),
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C(y,z)=\int\bigl(z^{2}+\theta(y)\bigr)\,dy =yz^{2}+\underbrace{\int\theta(y)\,dy}_{T(y)}+D(z).
  1. Finalmente, diferenciamos em z:
\frac{\partial f}{\partial z} =2yz + D'(z) \stackrel{!}{=}H_{3}=2yz \quad\Longrightarrow\quad D'(z)=0\;\Rightarrow\;D(z)=\text{const}.
Portanto, podemos tomar
f(x,y,z)=2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+yz^{2}+T(y),
onde T'(y)=\theta(y). A constante somada não altera a integral de linha.

Passo 4

Calculamos agora f nos pontos extremos da curva.
Para t=0:
x(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1,\quad y(0)=\cos^{2}(0)=1,\quad z(0)=\frac{e^{0}-1}{e-1}=0.
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f\bigl(\gamma(0)\bigr) =2\ln\bigl((-1)^{2}+1\bigr) +1\cdot0^{2} +T(1) =2\ln2 + T(1).
Para t=1:
x(1)=\frac{1-1}{1+1}=0,\quad y(1)=\cos^{2}(\pi)=1,\quad z(1)=\frac{e^{1}-1}{e-1}=1.
Logo
f\bigl(\gamma(1)\bigr) =2\ln(0^{2}+1) +1\cdot1^{2} +T(1) =0 + 1 + T(1) =1 + T(1).

Passo 5

Como \vec H é conservativo,
\int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} =f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr) =(1+T(1)) - (2\ln2 + T(1)) =1 - 2\ln2.

Resposta

\int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} =1 - 2\ln2.

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