Seja \vec{H}=\left(\frac{4 x}{x^{2}+1}, z^{2}+\theta(y), 2 y z\right) \text { e } \vec{\gamma}(t)=\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}, \cos ^{2}(\pi t), \frac{e^{t}-1}{l-1}\right) \theta(y) contínua, t \in[0,1]. Calcule \int_{\gamma} \vec{H} \cdot \overrightarrow{d l} Passo 1O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{H}(x,y,z)=\Bigl(\frac{4x}{x^{2}+1},\;z^{2}+\theta(y),\;2yz\Bigr) e a curva paramétrica \vec{\gamma}(t)=\Bigl(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1},\;\cos^{2}(\pi t),\;\frac{e^{t}-1}{e-1}\Bigr), \quad t\in[0,1]. Pede-se calcular \int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell}. O conteúdo é integral de linha em campo conservativo. Vamos mostrar que \vec H é gradiente de alguma função potencial e, em seguida, usar \int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr). Passo 2Verificamos que \vec H é conservativo conferindo que seu rotacional é zero. Chamando H_{1}=\frac{4x}{x^{2}+1},\; H_{2}=z^{2}+\theta(y),\; H_{3}=2yz, temos \frac{\partial H_{1}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial H_{2}}{\partial x}=0, \frac{\partial H_{1}}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial H_{3}}{\partial x}=0, \frac{\partial H_{2}}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial H_{3}}{\partial y}=2z. Como todas as igualdades \frac{\partial H_{i}}{\partial j}=\frac{\partial H_{j}}{\partial i} se cumprem, \nabla\times\vec H=\vec 0 e o campo é conservativo. Passo 3Procuramos uma potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=\vec H. Integramos em x: \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4x}{x^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad f(x,y,z)=2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C(y,z). Diferenciamos essa expressão em y: \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial C}{\partial y} \stackrel{!}{=}H_{2}=z^{2}+\theta(y), logo C(y,z)=\int\bigl(z^{2}+\theta(y)\bigr)\,dy =yz^{2}+\underbrace{\int\theta(y)\,dy}_{T(y)}+D(z). Finalmente, diferenciamos em z: \frac{\partial f}{\partial z} =2yz + D'(z) \stackrel{!}{=}H_{3}=2yz \quad\Longrightarrow\quad D'(z)=0\;\Rightarrow\;D(z)=\text{const}. Portanto, podemos tomar f(x,y,z)=2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+yz^{2}+T(y), onde T'(y)=\theta(y). A constante somada não altera a integral de linha. Passo 4Calculamos agora f nos pontos extremos da curva. Para t=0: x(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1,\quad y(0)=\cos^{2}(0)=1,\quad z(0)=\frac{e^{0}-1}{e-1}=0. Logo f\bigl(\gamma(0)\bigr) =2\ln\bigl((-1)^{2}+1\bigr) +1\cdot0^{2} +T(1) =2\ln2 + T(1). Para t=1: x(1)=\frac{1-1}{1+1}=0,\quad y(1)=\cos^{2}(\pi)=1,\quad z(1)=\frac{e^{1}-1}{e-1}=1. Logo f\bigl(\gamma(1)\bigr) =2\ln(0^{2}+1) +1\cdot1^{2} +T(1) =0 + 1 + T(1) =1 + T(1). Passo 5Como \vec H é conservativo, \int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} =f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr) =(1+T(1)) - (2\ln2 + T(1)) =1 - 2\ln2. Resposta \int_{\gamma}\vec{H}\cdot d\vec{\ell} =1 - 2\ln2. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Qual a transformada de Laplace da função f(t)=\frac{2}{3} t^{3}+2 t^{2} e^{-4 t}-5 \cos (5 t) ? A) F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{4}{(s+4)^{3}}-\frac{25}{s^{2}+25} B) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s+4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25} C) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5}{s^{2}+25} D) F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25} E) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25} Sendo F(s)=\frac{2 s-14}{s^{2}-6 s+13}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). A) f(t)=e^{-3 t}(2 \cos (3 t)-3 \sin (3 t)) B) f(t)=e^{3 t}(2 \cos (3 t)+2 \sin (3 t)) C) f(t)=e^{-3 t}(4 \cos (3 t)-2 \sin (3 t)) D) f(t)=e^{3 t}(2 \cos (2 t)-4 \sin (2 t)) E) f(t)=e^{3 t}(4 \cos (2 t)+2 \sin (2 t)) Questão 02: Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada: (2 pontos) \int e^{2 x} \cdot \cos x d x Questão 02: Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada: ( 1,5 ponto) \int \frac{e^{1 / x}+5}{x^{2}} d x