Questão-08. Uma microempresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 14 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 10 \mathrm{~m}^{2} de seda e 8 \mathrm{~m}^{2} de lã. Para confeccionar um terno padrão, são necessários 2 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 1 \mathrm{~m}^{2} de seda e 1 \mathrm{~m}^{2} de lã. Para um vestido padrão, são necessários 1 \mathrm{~m}^{2} de algodão, 2 \mathrm{~m}^{2} de seda e 1 \mathrm{~m}^{2} de lã. Para uma camisa, são necessários 1 \mathrm{~m}^{2} de algodão e 2 \mathrm{~m}^{2} de seda.
Faça o que se pede:
a) Monte um sistema linear que representa o problema proposto.
b) Determine o número de peças a serem produzidas satisfazendo as condições dadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) montar um sistema linear que represente o problema;
(b) determinar quantas peças produzir (número de ternos, vestidos e camisas) que satisfaçam as condições de disponibilidade de tecido.
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
Tecido disponível:
Algodão: \,14\\ \mathrm{m}^2.
Seda: \,10\\ \mathrm{m}^2.
Lã: \,8\\ \mathrm{m}^2.
Consumo por peça (área em \mathrm{m}^2):
Terno: \,2 de algodão, \,1 de seda, \,1 de lã.
Vestido: \,1 de algodão, \,2 de seda, \,1 de lã.
Camisa: \,1 de algodão, \,2 de seda, \,0 de lã.
Definição das variáveis (que representam números de peças a produzir):
Seja x o número de ternos.
Seja y o número de vestidos.
Seja z o número de camisas.
Passo 2
Montar o sistema linear: cada equação corresponde ao uso total de um tipo de tecido igual à disponibilidade.
Equação para algodão:
2x + y + z = 14
Equação para seda:
x + 2y + 2z = 10
Equação para lã:
x + y + 0\cdot z = 8
ou, de forma mais simples,
x + y = 8.
Passo 3
Breve explicação do método que vou usar: como a terceira equação é simples (x+y=8), é conveniente isolar uma variável por substituição e substituir nas outras duas equações. Substituição é um método para resolver sistemas lineares em que expressa-se uma variável em função das outras e usa-se essa expressão nas demais equações para reduzir o número de incógnitas.
Da equação
x + y = 8
isolamos x:
x = 8 - y.
Passo 4
Substituir x=8-y nas outras duas equações e resolver passo a passo.
Substituindo na equação do algodão:
2x + y + z = 14
2(8 - y) + y + z = 14
Desenvolvendo:
16 - 2y + y + z = 14
16 - y + z = 14
Isolando z:
z = y - 2.
Passo 5
Substituir x=8-y e z=y-2 na equação da seda:
x + 2y + 2z = 10
(8 - y) + 2y + 2(y - 2) = 10
Agora desenvolvendo termos:
8 - y + 2y + 2y - 4 = 10
8 + 3y - 4 = 10
3y + 4 = 10
3y = 6
y = 2.
Passo 6
Com y=2, calculamos x e z usando as expressões já obtidas.
Para x:
x = 8 - y = 8 - 2 = 6.
Para z:
z = y - 2 = 2 - 2 = 0.
Passo 7
Verificação (sempre boa prática): substituir (x,y,z)=(6,2,0) nas três equações originais.
Algodão:
2x + y + z = 2\cdot6 + 2 + 0 = 12 + 2 = 14.
Seda:
x + 2y + 2z = 6 + 2\cdot2 + 0 = 6 + 4 = 10.
Lã:
x + y = 6 + 2 = 8.
As três igualdades conferem com as disponibilidades, logo a solução está correta. Além disso, os valores são inteiros não-negativos, o que faz sentido pois representam quantidades de peças.
Passo 8
Interpretação final: produzir 6 ternos, 2 vestidos e 0 camisas usa exatamente todo o tecido disponível.
Resposta
a) \begin{cases} 2x + y + z = 14\\[4pt] x + 2y + 2z = 10\\[4pt] x + y = 8 \end{cases}