Questão 03. Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores. Se necessário use \vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right) para mostrar que:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}-2 \vec{u} \cdot \vec{v}+|\vec{v}|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}.
Informações dadas e aquilo que é permitido usar:
  • Dois vetores genéricos \vec{u} e \vec{v}.
  • Se necessário posso tomar \vec{u}=\left(x_{1},y_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2},y_{2}\right).
  • A figura mostra os vetores \vec{u} e \vec{v} e o ângulo \theta entre eles (essa informação está na imagem).

Passo 2

Vamos recordar definições e propriedades que vamos usar (explicadinhas, sem pressa).
Definição do produto escalar (dot product) em componentes: para vetores em \mathbb{R}^2,
\vec{a}=(a_x,a_y),\qquad \vec{b}=(b_x,b_y),
temos
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Interpretação geométrica: também vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
Propriedades principais que usaremos:
  • Simetria: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
  • Distributividade (bilinearidade): \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
  • Relação com norma: a norma ao quadrado é o produto escalar consigo mesmo:
|\vec{a}|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}.
Essas propriedades vêm direto da definição em componentes e ficam intuitivas com a interpretação geométrica.

Passo 3

Agora calculamos diretamente |\vec{u}-\vec{v}|^{2} usando produto escalar. Pela propriedade de norma:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
Usando distributividade do produto escalar:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
Pela simetria do produto escalar ( \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}) os termos do meio somam:
-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}=-2\vec{u}\cdot\vec{v}.
Além disso \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2} e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^{2}. Portanto:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}.
Isso já é exatamente a identidade pedida.

Passo 4

Para deixar tudo bem concreto, faço a prova em componentes (pra você seguir passo a passo na prova sem depender só de propriedades abstratas). Tome
\vec{u}=(x_{1},y_{1}),\qquad \vec{v}=(x_{2},y_{2}).
Então
\vec{u}-\vec{v}=(x_{1}-x_{2},\,y_{1}-y_{2}).
A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.
Expandindo cada quadrado:
(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} = x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2} + y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}.
Agrupando:
= (x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) - 2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}) + (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}).
Mas x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=|\vec{u}|^{2}, x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=|\vec{v}|^{2} e x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=\vec{u}\cdot\vec{v}. Assim
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2},
confirmando a identidade pelo cálculo componente a componente.

Passo 5

Comentário geométrico rápido (útil na prova para lembrar a fórmula): a identidade é a versão vetorial do teorema de cossenos. Se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, então \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta, e a fórmula vira
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta,
que é exatamente o teorema de cossenos aplicado ao triângulo formado pelas pontas de \vec{u}, \vec{v} e \vec{u}-\vec{v}. Isso ajuda a entender por que o sinal do termo misto é negativo.

Resposta

|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}

Exercícios relacionados