Questão 03. Sejam
e
vetores. Se necessário use
e
para mostrar que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações dadas e aquilo que é permitido usar:
- Dois vetores genéricos
e . - Se necessário posso tomar
e . - A figura mostra os vetores
e e o ângulo entre eles (essa informação está na imagem).
Passo 2
Vamos recordar definições e propriedades que vamos usar (explicadinhas, sem pressa).
Definição do produto escalar (dot product) em componentes: para vetores em
,
temos
Interpretação geométrica: também vale
onde
é o ângulo entre
e
.
Propriedades principais que usaremos:
- Simetria:
. - Distributividade (bilinearidade):
. - Relação com norma: a norma ao quadrado é o produto escalar consigo mesmo:
Essas propriedades vêm direto da definição em componentes e ficam intuitivas com a interpretação geométrica.
Passo 3
Agora calculamos diretamente
usando produto escalar. Pela propriedade de norma:
Usando distributividade do produto escalar:
Pela simetria do produto escalar (
) os termos do meio somam:
Além disso
e
. Portanto:
Isso já é exatamente a identidade pedida.
Passo 4
Para deixar tudo bem concreto, faço a prova em componentes (pra você seguir passo a passo na prova sem depender só de propriedades abstratas). Tome
Então
A norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
Expandindo cada quadrado:
Agrupando:
Mas
,
e
. Assim
confirmando a identidade pelo cálculo componente a componente.
Passo 5
Comentário geométrico rápido (útil na prova para lembrar a fórmula): a identidade é a versão vetorial do teorema de cossenos. Se
é o ângulo entre
e
, então
, e a fórmula vira
que é exatamente o teorema de cossenos aplicado ao triângulo formado pelas pontas de
,
e
. Isso ajuda a entender por que o sinal do termo misto é negativo.