Questão 03. Sejam
e
vetores. Se necessário use
e
para mostrar que:
se
é o ângulo entre os vetores
e
. Use a lei dos cossenos e as propriedades de produto escalar para mostrar que
.
se
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Dois vetores
e . - Um ângulo
entre esses vetores (mostrado na figura). - Permissão para usar
e se necessário.
O que é pedido: - Usar a lei dos cossenos e as propriedades do produto escalar para mostrar que
Passo 2
Construção geométrica e enunciado da lei dos cossenos:
- Coloque os vetores com as caudas no mesmo ponto (como na figura). Então os comprimentos dos lados de um triângulo formado são
, e . - A lei dos cossenos aplicada a esse triângulo, com o ângulo entre
e igual a , diz:
Expliquei: essa fórmula relaciona os quadrados dos comprimentos dos lados do triângulo com o cosseno do ângulo entre os lados
e
.
Passo 3
Calcular
usando produto escalar (propriedades algébricas):
- Lembrando que, para quaisquer vetores
e , vale distributividade do produto escalar:
- Então
- Expandindo pelo produto escalar:
- Como o produto escalar é comutativo (
), isso fica:
- Observação: usei também que
e .
Passo 4
Comparar as duas expressões para
e isolar
:
- Da lei dos cossenos (Passo 2) temos
- Do desenvolvimento via produto escalar (Passo 3) temos
- Igualando as duas expressões e simplificando
dos dois lados:
- Dividindo por
(assumindo e , caso contrário o ângulo não está definido):
Pronto — essa é a identidade pedida.
Passo 5
Expressão em coordenadas (para fixar a intuição e mostrar como calcular na prática):
- Se
e , então por definição do produto escalar em :
- E as normas são
- Substituindo na fórmula:
- Exemplo rápido e motivador: se
e , então e , logo e — faz sentido, são perpendiculares.
Passo 6
Observações finais e incentivo:
- A dedução é elegante porque relaciona uma fórmula geométrica clássica (lei dos cossenos) com a álgebra do produto escalar.
- Lembre-se: a fórmula exige vetores não nulos para que o denominador não seja zero.
- Quebre a prova em peças pequenas como fizemos: 1) aplique lei dos cossenos, 2) expanda com produto escalar, 3) compare e resolva. Você já aprendeu o “passo a passo de prova” — manda ver na prova, você consegue!