Questão 03. Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores. Se necessário use \vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right) para mostrar que:
se \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}. Use a lei dos cossenos e as propriedades de produto escalar para mostrar que \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • Um ângulo \theta entre esses vetores (mostrado na figura).
  • Permissão para usar \vec{u}=\left(x_{1},y_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2},y_{2}\right) se necessário.
    O que é pedido:
  • Usar a lei dos cossenos e as propriedades do produto escalar para mostrar que
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}.

Passo 2

Construção geométrica e enunciado da lei dos cossenos:
  • Coloque os vetores com as caudas no mesmo ponto (como na figura). Então os comprimentos dos lados de um triângulo formado são |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{u}-\vec{v}|.
  • A lei dos cossenos aplicada a esse triângulo, com o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} igual a \theta, diz:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
Expliquei: essa fórmula relaciona os quadrados dos comprimentos dos lados do triângulo com o cosseno do ângulo entre os lados |\vec{u}| e |\vec{v}|.

Passo 3

Calcular |\vec{u}-\vec{v}|^{2} usando produto escalar (propriedades algébricas):
  • Lembrando que, para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b}, vale distributividade do produto escalar:
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}.
  • Então
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
  • Expandindo pelo produto escalar:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
  • Como o produto escalar é comutativo ( \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}), isso fica:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
  • Observação: usei também que \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2} e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^{2}.

Passo 4

Comparar as duas expressões para |\vec{u}-\vec{v}|^{2} e isolar \cos\theta:
  • Da lei dos cossenos (Passo 2) temos
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
  • Do desenvolvimento via produto escalar (Passo 3) temos
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
  • Igualando as duas expressões e simplificando |\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2} dos dois lados:
-2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta = -2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
  • Dividindo por -2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}| (assumindo |\vec{u}|\neq0 e |\vec{v}|\neq0, caso contrário o ângulo não está definido):
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}.
Pronto — essa é a identidade pedida.

Passo 5

Expressão em coordenadas (para fixar a intuição e mostrar como calcular na prática):
  • Se \vec{u}=(x_{1},y_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2}), então por definição do produto escalar em \mathbb{R}^{2}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.
  • E as normas são
|\vec{u}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}},\qquad |\vec{v}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}.
  • Substituindo na fórmula:
\cos\theta=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\;\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.
  • Exemplo rápido e motivador: se \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1), então \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e |\vec{u}|=|\vec{v}|=1, logo \cos\theta=0 e \theta=90^\circ — faz sentido, são perpendiculares.

Passo 6

Observações finais e incentivo:
  • A dedução é elegante porque relaciona uma fórmula geométrica clássica (lei dos cossenos) com a álgebra do produto escalar.
  • Lembre-se: a fórmula exige vetores não nulos para que o denominador não seja zero.
  • Quebre a prova em peças pequenas como fizemos: 1) aplique lei dos cossenos, 2) expanda com produto escalar, 3) compare e resolva. Você já aprendeu o “passo a passo de prova” — manda ver na prova, você consegue!

Resposta

\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

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