Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}, 2 x\right)

Passo 1

O enunciado define T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(x^2 - y^2,\;2x).
Para ser transformação linear, precisa satisfazer
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(\lambda u)=\lambda\,T(u).

Passo 2

Temos T(1,2)=(-3,2) mas
T(2,4)=(-12,4)\neq2(-3,2)=2T(1,2),
logo T não preserva homogeneidade.

Resposta

T não é linear; posto e nulidade não se aplicam.

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