(Questão 05) [2,0 pontos] Determine os valores de n para que seja de 30^{\circ} o ângulo entre as retas
r: \frac{2-x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} y=n x-5 \\\ z=-2 x+2 \end{array}\right.
(a) n=-1 e n=7
(b) n=3 e n=0
(c) n=2 e n=-2
(d) n=0 e n=5
(e) n=-1 e n=-7

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede os valores de n tais que o ângulo entre elas seja 30^\circ. O conteúdo é geometria vetorial: para isso, vamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Para a reta
r:\frac{2-x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}
o vetor diretor \mathbf{v}_r é dado pelos coeficientes do denominador, respeitando o sinal de x. Assim,
\mathbf{v}_r = (-4,\;5,\;3).

Passo 3

Para a reta \displaystyle s:\begin{cases} y = n\,x - 5,\\\ z = -2\,x + 2, \end{cases}
podemos tomar x=t como parâmetro. Então
y = n\,t - 5,\quad z = -2\,t +2
e o vetor diretor é
\mathbf{v}_s = (1,\;n,\;-2).

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s vale
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s\bigr|}{\|\mathbf{v}_r\|\;\|\mathbf{v}_s\|}.
Aqui \theta=30^\circ e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Calculamos
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = (-4)\cdot1 + 5\cdot n + 3\cdot(-2) = 5n - 10,
\|\mathbf{v}_r\| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2},\quad \|\mathbf{v}_s\| = \sqrt{1^2 + n^2 + (-2)^2} = \sqrt{n^2 + 5}.
Substituindo em \cos\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}:
\frac{\bigl|5n - 10\bigr|}{5\sqrt{2}\,\sqrt{n^2+5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Elevando ao quadrado e simplificando:
\bigl(n-2\bigr)^2 = \frac{6}{4}\,(n^2+5) \;\Longrightarrow\; 2(n^2 - 4n + 4) = 3n^2 + 15 \;\Longrightarrow\; n^2 + 8n + 7 = 0 \;\Longrightarrow\; n = -1 \text{ ou } n = -7.

Resposta

n=-1 e n=-7 (alternativa (e)).

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