(a) n=-1 e n=7
(b) n=3 e n=0
(c) n=2 e n=-2
(d) n=0 e n=5
(e) n=-1 e n=-7
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede os valores de n tais que o ângulo entre elas seja 30^\circ. O conteúdo é geometria vetorial: para isso, vamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.
Passo 2
Para a reta
r:\frac{2-x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}
o vetor diretor \mathbf{v}_r é dado pelos coeficientes do denominador, respeitando o sinal de x. Assim,
\mathbf{v}_r = (-4,\;5,\;3).
Passo 3
Para a reta \displaystyle s:\begin{cases}
y = n\,x - 5,\\\ z = -2\,x + 2,
\end{cases}
podemos tomar x=t como parâmetro. Então
y = n\,t - 5,\quad z = -2\,t +2
e o vetor diretor é
\mathbf{v}_s = (1,\;n,\;-2).
Passo 4
O cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s vale