(Questão 03) [2,0 pontos ] Sejam E=\left(\overrightarrow{c_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) bases tais que
\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-3 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}},
Exprima o vetor \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{e_{3}} na base F.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3:
a base E=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) e a base canônica F=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}), com
\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-3\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}},\quad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}.
Queremos achar as coordenadas de \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}} na base E.

Passo 2

Para \overrightarrow{e_{1}} escrevemos
\overrightarrow{e_{1}} = a\,\overrightarrow{f_{1}} + b\,\overrightarrow{f_{2}} + c\,\overrightarrow{f_{3}},
e substituímos as definições de \overrightarrow{f_i}:
\overrightarrow{e_{1}} = a\bigl(\overrightarrow{e_{1}}-3\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}\bigr) + b\bigl(\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}\bigr) + c\bigl(\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}\bigr).
Agrupando coeficientes em \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}} obtemos o sistema
\begin{cases} 1 = a + c,\\\\ 0 = -3a + b - c,\\\\ 0 = a - b. \end{cases}

Passo 3

Do terceiro equação vem b=a. Substituindo na segunda:
0 = -3a + a - c = -2a - c \;\Rightarrow\; c=-2a.
Na primeira:
1 = a + c = a -2a = -a \;\Rightarrow\; a=-1,\; b=-1,\; c=2.
Logo
\overrightarrow{e_{1}}=-1\,\overrightarrow{f_{1}}-1\,\overrightarrow{f_{2}}+2\,\overrightarrow{f_{3}}.

Passo 4

Para \overrightarrow{e_{2}}\) fazemos igual: \[\overrightarrow{e_{2}} = a\,\overrightarrow{f_{1}} + b\,\overrightarrow{f_{2}} + c\,\overrightarrow{f_{3}},
gerando o sistema
\begin{cases} 0 = a + c,\\\\ 1 = -3a + b - c,\\\\ 0 = a - b. \end{cases}
De a=b\] e \(c=-a, a segunda dá
1=-3a + a -(-a)=-a \;\Rightarrow\; a=-1,\; b=-1,\; c=1.
Portanto
\overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{f_{1}}-\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}}.

Passo 5

Para \overrightarrow{e_{3}}\) escrevemos \[\overrightarrow{e_{3}} = a\,\overrightarrow{f_{1}} + b\,\overrightarrow{f_{2}} + c\,\overrightarrow{f_{3}}
e obtemos
\begin{cases} 0 = a + c,\\\\ 0 = -3a + b - c,\\\\ 1 = a - b. \end{cases}
Da primeira c=-a\], da segunda \(b=2a, e da terceira
1 = a - 2a = -a \;\Rightarrow\; a=-1,\; b=-2,\; c=1.
Assim
\overrightarrow{e_{3}}=-\overrightarrow{f_{1}}-2\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{e_{1}}=-\overrightarrow{f_{1}}-\overrightarrow{f_{2}}+2\overrightarrow{f_{3}},\quad \overrightarrow{e_{2}}=-\overrightarrow{f_{1}}-\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}},\quad \overrightarrow{e_{3}}=-\overrightarrow{f_{1}}-2\overrightarrow{f_{2}}+\overrightarrow{f_{3}}.

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