Nas questões de 1 a 5 , assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa)
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante k multiplica o determinante por k. ( )
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )

Passo 1

O enunciado trata de propriedades básicas de determinantes de matrizes quadradas. Vamos usar as regras clássicas de determinantes: (i) para matriz triangular, (ii) efeito de linhas iguais, (iii) efeito de multiplicar uma linha por constante, (iv) relação com a transposta e (v) condição de invertibilidade.

Passo 2

a) Uma matriz triangular (superior ou inferior) tem todas as entradas fora da diagonal principal iguais a zero. Pelo desenvolvimento de Laplace ou pela regra de Sarrus (no caso 3\times3), mostra-se que o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

b) Se duas linhas de uma matriz são idênticas, ao trocar essas duas linhas o determinante mudaria de sinal; mas como as linhas são iguais, o determinante teria que ser igual ao seu próprio negativo, forçando-o a ser zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

c) Uma das operações elementares diz que, ao multiplicar uma única linha de uma matriz por uma constante k, o determinante da nova matriz fica k vezes o determinante original. É uma propriedade padrão de determinantes, então a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) Pela definição de determinante como soma sobre permutações, trocar linhas por colunas (isto é, passar à transposta) não altera o valor da soma. Assim, \det(A)=\det(A^T) e a afirmação é verdadeira.

Passo 6

e) Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Se \det(A)=0, a matriz perde posto e não tem inversa. Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) \mathbf{V}
b) \mathbf{V}
c) \mathbf{V}
d) \mathbf{V}
e) \mathbf{V}

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