Nas questões de 1 a 5 , assinale
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa)
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante
multiplica o determinante por
. ( )
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )
Passo 1
O enunciado trata de propriedades básicas de determinantes de matrizes quadradas. Vamos usar as regras clássicas de determinantes: (i) para matriz triangular, (ii) efeito de linhas iguais, (iii) efeito de multiplicar uma linha por constante, (iv) relação com a transposta e (v) condição de invertibilidade.
Passo 2
a) Uma matriz triangular (superior ou inferior) tem todas as entradas fora da diagonal principal iguais a zero. Pelo desenvolvimento de Laplace ou pela regra de Sarrus (no caso
), mostra-se que o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
b) Se duas linhas de uma matriz são idênticas, ao trocar essas duas linhas o determinante mudaria de sinal; mas como as linhas são iguais, o determinante teria que ser igual ao seu próprio negativo, forçando-o a ser zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
c) Uma das operações elementares diz que, ao multiplicar uma única linha de uma matriz por uma constante
, o determinante da nova matriz fica
vezes o determinante original. É uma propriedade padrão de determinantes, então a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) Pela definição de determinante como soma sobre permutações, trocar linhas por colunas (isto é, passar à transposta) não altera o valor da soma. Assim,
e a afirmação é verdadeira.
Passo 6
e) Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Se
, a matriz perde posto e não tem inversa. Logo, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)