Questão 05
(CESPE/CEBRASPE-Adaptada) A respeito da transformação linear T: R^{3} \hat{A} \square \rightarrow R^{3}, em que T(x, y, z)=(2 x+y, 3 y+4 z, 4 x+2 y), podemos afirmar que \operatorname{dim}(\operatorname{lm}(T)) é igual a:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
3
2
1
0
4

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (2x+y,\;3y+4z,\;4x+2y).
Queremos calcular \dim(\mathrm{Im}(T)). Pela teoria de transformações lineares,
\dim(\mathrm{Im}(T)) = \mathrm{rank}(A),
onde A é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Para achar A, usamos as imagens dos vetores canônicos:
T(1,0,0) = (2,0,4),\quad T(0,1,0) = (1,3,2),\quad T(0,0,1) = (0,4,0).
Assim,
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 4\\\\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar se \mathrm{rank}(A)=3:
\det(A) = 2\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&0\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}0&4\\\ 4&0\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =2\,(3\cdot0-4\cdot2)-1\,(0\cdot0-4\cdot4) =-16+16=0.
Como \det(A)=0, concluímos que \mathrm{rank}(A)<3.

Passo 4

Para mostrar que \mathrm{rank}(A)\ge2, basta encontrar um menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix} =2\cdot3-1\cdot0=6\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)=2.

Resposta

2

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