(REBECA ELLEN LIMA DA SILVA) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
r \geqslant 0, \pi / 3 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi / 3

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região em coordenadas polares dada por
r \ge 0,\quad \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{2\pi}{3}.
O conteúdo é interpretação de coordenadas polares: as desigualdades em \theta definem dois raios que saem da origem e as de r dizem que percorremos desses raios desde r=0 até o infinito.

Passo 2

As fronteiras angulares são os raios \theta=\pi/3 e \theta=2\pi/3. Em coordenadas cartesianas (x,y), cada raio é uma reta passando pela origem com inclinação
\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3}, \quad \tan\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=-\sqrt{3}.
Portanto as retas são
y = \sqrt{3}\,x \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{3}\,x,
ambas partindo de (0,0).

Passo 3

A condição r\ge0 faz com que a região seja todo o conjunto de pontos sobre esses dois raios e entre eles, a partir da origem até o infinito. Logo, no plano cartesiano, traçamos as duas retas y=\sqrt{3}x e y=-\sqrt{3}x e sombreamos o setor angular fechado entre elas.

Resposta

A região é o setor infinito com vértice na origem, limitado pelos raios de equações
y = \sqrt{3}\,x \quad\bigl(\theta=\tfrac{\pi}{3}\bigr) \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{3}\,x \quad\bigl(\theta=\tfrac{2\pi}{3}\bigr),
incluindo essas fronteiras e estendendo-se até r\to\infty.

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