Questão 03

Considere a matriz de mudança da base C para a base B de \mathrm{R}^{3} :
\mathrm{M}_{\mathrm{C}}^{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right] .
Se o elemento v \in R^{3} tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por:
[\mathrm{v}]_{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],
as coordenadas de v com relação a base C é:
(2,0,4)
(4,0,2)
(1,4,2)
(0,4,2)
X) (0,3,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base \mathrm{M}_{\mathrm{C}}^{\mathrm{B}} de \mathbb{R}^3 e as coordenadas de v na base B, e pede as coordenadas de v na base C. O conteúdo aqui é mudança de base: vamos usar que a matriz de mudança de base de B para C transforma o vetor de coordenadas em B no vetor de coordenadas em C.

Passo 2

Por definição, se \mathrm{M}_{\mathrm{C}}^{\mathrm{B}} é a matriz de mudança de base de B para C, então
[v]_{C} \;=\;\mathrm{M}_{\mathrm{C}}^{\mathrm{B}}\,[v]_{B}.

Passo 3

Substituindo \mathrm{M}_{\mathrm{C}}^{\mathrm{B}} e [v]_{B}, fazemos a multiplicação de matrizes:
[v]_{C} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\\\ 3\\\\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot0+1\cdot3+1\cdot(-1)\\\\ 1\cdot0+0\cdot3+0\cdot(-1)\\\\ 1\cdot0+1\cdot3+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\\\ 0\\\\ 4 \end{pmatrix}.

Resposta

(2,0,4)

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