Questão 2: (Valor: 3 pontos) Considere os pontos A:(4,2,1), B:(2,3,2) e C:(-1,1,2). Faça os seguintes itens:
(a) Determine os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(c) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço A=(4,2,1), B=(2,3,2) e C=(-1,1,2), e pede:
– (a) os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC},
– (b) a área do paralelogramo formado por esses vetores,
– (c) a área do triângulo ABC.
O conteúdo envolve subtração de coordenadas, produto vetorial e cálculo de módulo para obter áreas.

Passo 2

Para obter \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraímos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-4,\;3-2,\;2-1) = (-2,\;1,\;1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-4,\;1-2,\;2-1) = (-5,\;-1,\;1).

Passo 3

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Primeiro calculamos
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -2 & 1 & 1 \\[2pt] -5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 1\cdot(-1))\,\mathbf{i} -(-2\cdot1 - 1\cdot(-5))\,\mathbf{j} +(-2\cdot(-1) - 1\cdot(-5))\,\mathbf{k},
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (2,\;-3,\;7).
Então o módulo é
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}.]

Passo 4

A área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo, logo
\mathrm{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\,\sqrt{62}.Á

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(-2,1,1), \overrightarrow{AC}=(-5,-1,1).
(b) Área do paralelogramo =\sqrt{62}.
(c) Área do triângulo ABC=\tfrac{\sqrt{62}}{2}.

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