Questão 04. Seja

f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}+3 x+2} \operatorname{arctg}(\sqrt{2 x+1}), \operatorname{com} x>-\frac{1}{2}
Então, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=1 é:
(A) \frac{\pi+18}{36}
(B) \frac{\pi \sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}
(C) \frac{\pi}{8 \sqrt{3}}
(D) \frac{1}{48}
(E) \frac{\pi \sqrt{3}+2}{4 \sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
f(x)=\sqrt[3]{3x^{2}+3x+2}\,\arctan\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)
no ponto de abscissa x=1.
Para isso, vamos usar a regra do produto e a cadeia para derivar f e depois avaliar f'(1).

Passo 2

Definimos
g(x)=\bigl(3x^{2}+3x+2\bigr)^{\tfrac{1}{3}},
então
g'(x)=\frac{1}{3}\bigl(3x^{2}+3x+2\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot(6x+3).
Em x=1 temos 3\cdot1^{2}+3\cdot1+2=8 e 6\cdot1+3=9, logo
g(1)=8^{\tfrac{1}{3}}=2, \qquad g'(1)=\frac{1}{3}\,8^{-\tfrac{2}{3}}\cdot9 =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^{2}}\cdot9 =\frac{3}{4}.

Passo 3

Definimos
h(x)=\arctan\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr).
Seja V(x)=\sqrt{2x+1}. Então V'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} e
h'(x)=\frac{V'(x)}{1+V(x)^{2}} =\frac{1/\sqrt{2x+1}}{1+(2x+1)} =\frac{1}{(2x+2)\sqrt{2x+1}}.
Em x=1 temos \sqrt{2\cdot1+1}=\sqrt{3}, portanto
h(1)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}, \qquad h'(1)=\frac{1}{4\sqrt{3}}.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Logo em x=1
f'(1) =\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{3} +2\cdot\frac{1}{4\sqrt{3}} =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Escrevendo em denominação comum 4\sqrt{3},
\frac{\pi}{4}=\frac{\pi\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}, \quad \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{4\sqrt{3}},
então
f'(1)=\frac{\pi\sqrt{3}+2}{4\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt{3}+2}{4\sqrt{3}} (alternativa E)

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