Questão 05. Seja

f(x)=\left(e^{2 x}+x\right)^{\operatorname{arctg}(x+1)}
Então, f^{\prime}(0) vale:
(A) \frac{\pi}{4}
(B) \frac{\pi}{2}
(C) \frac{3 \pi}{4}
(D) \pi
(E) \frac{5 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\bigl(e^{2x}+x\bigr)^{\arctan(x+1)}
e pede f'(0). O conteúdo aqui é a derivada de uma função do tipo h(x)^{k(x)}, então vamos usar log-diferenciação, a regra da cadeia e a derivada de \arctan.

Passo 2

Definimos
h(x)=e^{2x}+x,\quad k(x)=\arctan(x+1).
Tomando logaritmo,
\ln f(x)=k(x)\,\ln h(x),
e diferenciando ambos os lados,
\frac{f'(x)}{f(x)}=k'(x)\,\ln h(x)+k(x)\,\frac{h'(x)}{h(x)}.

Passo 3

Calculamos as quantidades em x=0:
h(0)=e^{0}+0=1,\quad h'(x)=2e^{2x}+1\implies h'(0)=2\cdot1+1=3,
k(0)=\arctan(1)=\frac\pi4,\quad k'(x)=\frac1{1+(x+1)^2}\implies k'(0)=\frac1{1+1^2}=\frac12.

Passo 4

Substituindo em \tfrac{f'(x)}{f(x)} no ponto x=0:
\frac{f'(0)}{f(0)} =k'(0)\,\ln h(0)+k(0)\,\frac{h'(0)}{h(0)} =\frac12\cdot\ln1+\frac\pi4\cdot\frac{3}{1} =0+\frac{3\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}.
Como f(0)=1^{\pi/4}=1, segue f'(0)=\tfrac{3\pi}{4}.

Resposta

(C) \tfrac{3\pi}{4}

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