Questão 03. (4 pontos) Um projétil de massa m, é disparado horizontalmente, tem velocidade v_{0} quando colide e fica engastado na borda de um disco cilíndrico sólido de massa M e raio R, inicialmente em repouso, que pode girar livremente em torno do seu eixo vertical, passando pelo seu centro (ver figura 3). Determine (a) (2 pts) a velocidade angular do conjunto (disco mais projétil) imediatamente após o projétil ter se integrado ao disco e (b) (2 pts) o torque exercido pelo projétil sobre o disco, que atinge a velocidade angular \omega em t segundos, se a massa do disco for 4 vezes a massa do projétil. Expresse as respostas em função da massa do projétil, massa do disco, raio do disco, velocidade inicial do projétil e tempo. (Dado: momento de inércia do disco é a metade massa multiplicado pelo quadrado do raio)

Passo 1

O enunciado descreve um projétil de massa m que, com velocidade inicial v_{0}, atinge a borda de um disco cilíndrico sólido de massa M e raio R, inicialmente em repouso. O disco pode girar livremente em torno de um eixo vertical passando pelo centro.
(a) Vamos encontrar a velocidade angular imediata do conjunto (projétil + disco) usando conservação do momento angular.
(b) Em seguida, para o caso em que M=4m, determinamos o torque médio exercido pelo projétil sobre o disco para que o sistema alcance velocidade angular \omega em tempo t.
Usaremos o momento de inércia do disco sólido:
I_{\text{disco}} = \tfrac12\,M\,R^{2}.

Passo 2

Calculamos o momento de inércia total após o impacto. O disco contribui com
I_{\text{disco}} = \tfrac12\,M\,R^{2},
e o projétil engastado na borda, tratado como ponto, contribui com
I_{\text{proj}} = m\,R^{2}.
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I_{\text{total}} = I_{\text{disco}} + I_{\text{proj}} = \bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R^{2}.

Passo 3

Pelo teorema da conservação do momento angular em torno do eixo do disco: antes do choque só o projétil gira em linha reta à distância R, com momento
L_{i} = m\,v_{0}\,R.
Depois do choque, o conjunto gira com momento
L_{f} = I_{\text{total}}\,\omega_{f}.
Igualando L_{i}=L_{f} obtemos
m\,v_{0}\,R = \bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R^{2}\,\omega_{f} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{f} = \frac{m\,v_{0}}{\bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R}.

Passo 4

Para achar o torque médio \tau que o projétil exerce durante o impacto (em intervalo de tempo t) e que leva o sistema de \omega=0 a \omega, usamos
\tau\,t = \Delta L = I_{\text{total}}\,\omega,
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\tau = \frac{I_{\text{total}}\,\omega}{t} = \frac{\bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R^{2}\,\omega}{t}.

Passo 5

Para o caso M=4m, temos
\tfrac12\,M + m = \tfrac12\,(4m) + m = 3m, \quad I_{\text{total}} = 3m\,R^{2},
portanto
\tau = \frac{3m\,R^{2}\,\omega}{t}.

Resposta

(a) \displaystyle \omega_{f} = \frac{m\,v_{0}}{\bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R}.
(b) \displaystyle \tau = \frac{\bigl(\tfrac12\,M + m\bigr)\,R^{2}\,\omega}{t}, e para M=4m resulta em \displaystyle \tau = \frac{3m\,R^{2}\,\omega}{t}.

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