Questão 03. (4 pontos) Um projétil de massa
, é disparado horizontalmente, tem velocidade
quando colide e fica engastado na borda de um disco cilíndrico sólido de massa
e raio
, inicialmente em repouso, que pode girar livremente em torno do seu eixo vertical, passando pelo seu centro (ver figura 3). Determine (a) (2 pts) a velocidade angular do conjunto (disco mais projétil) imediatamente após o projétil ter se integrado ao disco e (b) (2 pts) o torque exercido pelo projétil sobre o disco, que atinge a velocidade angular
em
segundos, se a massa do disco for 4 vezes a massa do projétil. Expresse as respostas em função da massa do projétil, massa do disco, raio do disco, velocidade inicial do projétil e tempo. (Dado: momento de inércia do disco é a metade massa multiplicado pelo quadrado do raio)
Passo 1
O enunciado descreve um projétil de massa
que, com velocidade inicial
, atinge a borda de um disco cilíndrico sólido de massa
e raio
, inicialmente em repouso. O disco pode girar livremente em torno de um eixo vertical passando pelo centro.
(a) Vamos encontrar a velocidade angular imediata do conjunto (projétil disco) usando conservação do momento angular.
(b) Em seguida, para o caso em que , determinamos o torque médio exercido pelo projétil sobre o disco para que o sistema alcance velocidade angular
em tempo
.
Usaremos o momento de inércia do disco sólido:
(a) Vamos encontrar a velocidade angular imediata do conjunto (projétil
(b) Em seguida, para o caso em que
Usaremos o momento de inércia do disco sólido:
Passo 2
Calculamos o momento de inércia total após o impacto. O disco contribui com
e o projétil engastado na borda, tratado como ponto, contribui com
Logo
Passo 3
Pelo teorema da conservação do momento angular em torno do eixo do disco: antes do choque só o projétil gira em linha reta à distância
, com momento
Depois do choque, o conjunto gira com momento
Igualando
obtemos
Passo 4
Para achar o torque médio
que o projétil exerce durante o impacto (em intervalo de tempo
) e que leva o sistema de
a
, usamos
logo
Passo 5
Para o caso
, temos
portanto
Resposta
(a)
(b) e para
resulta em
(b)