Questão 03: Sejam A_{3 x 3} tal que \left[a_{i j}\right]=\left\{\begin{array}{c}z^{2} \text { se } i=j=1 \\\\ 0 \quad \text { caso contrário }\end{array}\right.á e z um número real diferente de zero, encontre z de modo que A^{t}+A=\frac{-1}{z} A+I_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}\) cujos elementos são \[a_{ij} = \begin{cases} z^{2}, & \text{se }i=j=1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
com z\neq0\]. Pede-se encontrar \(z real tal que
A^{t} + A \;=\; -\frac{1}{z}\,A \;+\; I_{3}.

Passo 2

Como A só tem entrada não nula em (1,1), é simétrica, logo
A^{t}=A \quad\Longrightarrow\quad A^{t}+A=2A.
Substituindo na equação,
2A = -\frac{1}{z}A + I_{3} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(2 + \tfrac{1}{z}\Bigr)A = I_{3}.

Passo 3

Escrevendo a igualdade matricial entrada a entrada, para i=j=1 temos
\Bigl(2+\tfrac{1}{z}\Bigr)\,a_{11} = 1,
e para i=j=2 ou i=j=3 temos
\Bigl(2+\tfrac{1}{z}\Bigr)\,a_{ii} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(2+\tfrac{1}{z}\Bigr)\cdot 0 = 1.

Passo 4

No caso (1,1), como a_{11}=z^{2},
\Bigl(2+\tfrac{1}{z}\Bigr)z^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2z^{2} + z - 1 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
2z^{2} + z - 1 = 0,
o discriminante é \Delta = 1 + 8 = 9, então
z = \frac{-1 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad z = -1.

Passo 6

Porém, para (2,2) e (3,3) a igualdade exigiria
0 = 1,
o que é impossível. Portanto não existe z real que satisfaça todas as entradas da equação matricial.

Resposta

Não existe valor de z real diferente de zero que satisfaça a equação.

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