Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 5 & 2 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{ll}5 & -1\end{array}\right] Encontre:
(5 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}) \cdot(5 \mathrm{C})

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[6pt] 5 & 2 & 2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\[6pt] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 0\\[3pt] 1\\[3pt] 2 \end{pmatrix}
e pede para calcular (5A - 2B)\cdot(5C). Vamos usar propriedades de multiplicação escalar de matrizes e multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Calcular 5A e 2B multiplicando cada entrada de A por 5 e de B por 2:
5A = \begin{pmatrix} 5\cdot 1 & 5\cdot 0 & 5\cdot(-2)\\[6pt] 5\cdot 5 & 5\cdot 2 & 5\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -10\\[6pt] 25 & 10 & 10 \end{pmatrix},
2B = \begin{pmatrix} 2\cdot(-1) & 2\cdot 0 & 2\cdot 2\\[6pt] 2\cdot 2 & 2\cdot 0 & 2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4\\[6pt] 4 & 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Subtrair para obter 5A - 2B:
5A - 2B = \begin{pmatrix} 5 - (-2) & 0 - 0 & -10 - 4\\[6pt] 25 - 4 & 10 - 0 & 10 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & -14\\[6pt] 21 & 10 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular 5C multiplicando cada entrada de C por 5:
5C = \begin{pmatrix} 5\cdot 0\\[3pt] 5\cdot 1\\[3pt] 5\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[3pt] 5\\[3pt] 10 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicar (5A - 2B) (que é 2\times 3) por 5C (que é 3\times 1):
Para a primeira linha do produto:
7\cdot 0 + 0\cdot 5 + (-14)\cdot 10 = 0 + 0 - 140 = -140.
Para a segunda linha do produto:
21\cdot 0 + 10\cdot 5 + 6\cdot 10 = 0 + 50 + 60 = 110.
Portanto,
(5A - 2B)\,(5C) = \begin{pmatrix} -140\\[3pt] 110 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -140\\[3pt] 110 \end{pmatrix}.]

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