Questão 05: A=\left[\begin{array}{rr}\cos \frac{\pi}{6} & \sin \left\lvert\, \frac{\pi}{6}\right. \\\\ -\sin \frac{\pi}{6} & \cos \frac{\pi}{6}\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] onde M=A B A^{t}.
Calcule N=A^{t} M^{2010} A.

Passo 1

O enunciado dá
A = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{6} & \sin\bigl|\tfrac{\pi}{6}\bigr|\\\\ -\sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
define M = A\,B\,A^t e pede N = A^t\,M^{2010}\,A.
O conteúdo é semelhança de matrizes e potências de bloco de Jordan.

Passo 2

Como A é rotação, temos A^t = A^{-1}. Então
M = A\,B\,A^t = A\,B\,A^{-1}
e, por indução em n,
M^n = A\,B^n\,A^t.

Passo 3

Substituindo em N:
N = A^t\,M^{2010}\,A = A^t\,(A\,B^{2010}\,A^t)\,A = (A^tA)\,B^{2010}\,(A^tA) = I\,B^{2010}\,I = B^{2010}.

Passo 4

Para
B = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
sabe-se que
B^n = \begin{pmatrix}1 & n\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Logo, com n=2010,
B^{2010} = \begin{pmatrix}1 & 2010\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

N = \begin{pmatrix}1 & 2010\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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