Questão 04: Seja A=\left[\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]. Se A+A^{t}=I_{2}, determine o valor de \alpha.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação
A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\[6pt] \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
e pede os valores de \alpha tais que
A + A^{t} = I_{2}.
Para resolver, vamos usar propriedades de transposta e igualdade de matrizes.]

Passo 2

Primeiro, calculemos a transposta de A. Invertendo linhas por colunas, obtemos
A^{t} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\[6pt] -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora somamos A e A^{t}:
A + A^{t} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\[3pt] \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\[3pt] -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos\alpha & 0 \\[3pt] 0 & 2\cos\alpha \end{pmatrix} = 2\cos\alpha\,I_{2}.]

Passo 4

A condição A + A^{t} = I_{2} vira
2\cos\alpha\,I_{2} = I_{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\cos\alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \tfrac12.
As soluções gerais de \cos\alpha = \tfrac12 são
\alpha = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle \alpha = 2\pi k \pm \tfrac{\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}.

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