QUESTÃO 04.

  1. Seja f(x)=sen x. Calcule.
    a) f(x)
    b) f^prime(pi4)
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=sen x no ponto de abscissa 0 .
  3. Seja f(x)=cos x. Calcule.
    a) f(x)
    b) f(0)
    c) f^prime(pi3)
    d) f^prime(-pi4)
  4. Calcule f^prime(x) sendo
    a) f(x)=tg x
    b) f(x)=sec x
  5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=tg x no ponto de abscissa 0 .
  6. Seja f(x)=cotg x. Calcule.
    a) f(x)
    b) f^prime(pi4)
  7. Seja g(x)=cosec x. Calcule.
    a) g^prime(x)
    b) g^prime(pi4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas e retas tangentes das funções trigonométricas básicas: sin x, cos x, tan x, sec x, cot x e csc x. Vamos usar as derivadas padrões:
ddxsin x = cos x, ddxcos x = -sin x, ddxtan x = sec^2 x, ddxsec x = sec xtan x,
ddxcot x = -csc^2 x, ddxcsc x = -csc x,cot x

Passo 2

Para f(x)=sin x, aplicando a regra
f'(x)=cos x
Em particular,
f'l(tfracpi4r)=cos!l(tfracpi4r)=raiz22

Passo 3

A reta tangente a y=sin x em x0=0 tem coeficiente angular m=f'(0)=cos0=1 e passa por (0,f(0))=(0,0). Logo a equação é
y - 0 = 1,(x - 0) Longrightarrow y = x

Passo 4

Para f(x)=cos x:
f'(x)=-sin x,
f(0)=cos0=1,
f'l(tfracpi3r)=-sin!l(tfracpi3r)=-raiz32,
f'l(-tfracpi4r)=-sin!l(-tfracpi4r)=-l(-tfracraiz22r)=raiz22

Passo 5

Para f(x)=tan x e f(x)=sec x:
ddxtan x=sec^2 x, ddxsec x=sec x,tan x

Passo 6

A reta tangente a y=tan x em x0=0 tem f(0)=tan0=0 e f'(0)=sec^2 0=1. Assim,
y-0=1,(x-0) Longrightarrow y=x

Passo 7

Para f(x)=cot x:
f'(x)=-csc^2 x,
f'l(tfracpi4r)=-csc^2!l(tfracpi4r) =-l(raiz2r)^2=-2

Passo 8

Para g(x)=csc x:
g'(x)=-csc x,cot x,
g'l(tfracpi4r)=-csc!l(tfracpi4r),cot!l(tfracpi4r) =-(raiz2)cdot1=-raiz2

Resposta

1.a) f'(x)=cos x
1.b) f'(tfracpi4)=tfracraiz22
  1. Reta: y=x
3.a) f'(x)=-sin x
3.b) f(0)=1
3.c) f'(tfracpi3)=-tfracraiz32
3.d) f'(-tfracpi4)=tfracraiz22
4.a) ddxtan x=sec^2 x
4.b) ddxsec x=sec x,tan x
  1. Reta: y=x
6.a) ddxcot x=-csc^2 x
6.b) f'(tfracpi4)=-2
7.a) g'(x)=-csc x,cot x
7.b) g'(tfracpi4)=-raiz2

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