Questão 04 - Seja a função f: I R-\{3\} \rightarrow I R-\{3\} definida por f(x)=\left(\frac{2 x-5}{x-3}\right)+1. Sobre sua inversa, podemos garantir que
a) está definida por f^{-1}(x)=\frac{3 x-8}{x-3}, x \neq 3.
b) está definida por f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2 x-5}, x \neq 5 / 2.
c) está definida por f^{-1}(x)=\frac{3 x-5}{x-3}, x \neq 3.
d) não está definida, pois f não é bijetora.

Passo 1

O enunciado dá a função
f: \mathbb{R}\setminus\{3\}\;\longrightarrow\;\mathbb{R}\setminus\{3\},
definida por
f(x)=\left(\frac{2x-5}{x-3}\right)+1
e pede a sua inversa. Isso envolve verificar que f é bijetora (domínio e contradomínio excluem pontos que anulariam denominadores ou não seriam atingidos) e resolver a equação y=f(x) para x.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) somando a fração e o 1:
f(x)=\frac{2x-5}{x-3}+1 =\frac{2x-5+(x-3)}{x-3} =\frac{3x-8}{x-3}.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y=\frac{3x-8}{x-3}
e resolvemos para x. Fazendo a multiplicação em cruz:
y\,(x-3)=3x-8 \;\Longrightarrow\; yx-3y=3x-8.

Passo 4

Reagrupando termos em x:
yx-3x=3y-8 \;\Longrightarrow\; x\,(y-3)=3y-8 \;\Longrightarrow\; x=\frac{3y-8}{y-3}.
Logo a inversa é
f^{-1}(y)=\frac{3y-8}{y-3}.
Trocando y por x, obtemos
f^{-1}(x)=\frac{3x-8}{x-3}.

Passo 5

Precisamos checar o domínio da inversa: o denominador x-3 não pode ser zero, então x\neq3. Também não há outra restrição porque f(x) nunca atinge 3 (não existe x que faça (3x-8)/(x-3)=3). Assim, f é bijetora de \mathbb{R}\setminus\{3\} em \mathbb{R}\setminus\{3\} e sua inversa é bem definida em \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, vemos que a opção (a) diz
f^{-1}(x)=\frac{3x-8}{x-3},\quad x\neq3,
que coincide exatamente com o resultado obtido.

Resposta

(a) f^{-1}(x)=\frac{3x-8}{x-3},\;x\neq3.

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