Questão 07: Sejam
matrizes simétricas:
a) Mostre que
é simétrica.
b) Mostre que
é simétrica se, e somente se,
.
c) Mostre que
é simétrica.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas matrizes simétricas
e
de ordem
. Precisamos usar a definição de matriz simétrica e as propriedades da transposta para:
e também a propriedade
.\n
Passo 2
Para (a), aplicamos a propriedade da transposta à soma:
Como
e
são simétricas, temos
e
. Logo
ou seja,
é simétrica.\n
Passo 3
Para (b), usamos que
Como
e
são simétricas,
e
, então
Portanto,
é simétrica se, e somente se,
Passo 4
Para (c), observe o polinômio matricial
. Usamos linearidade da transposta e o fato de
:
Como
, segue
logo
é simétrica.\n
Resposta
a)
, logo
é simétrica.
b) , portanto
é simétrica se, e somente se,
.
c) , logo
é simétrica.
b)
c)