Questão 07: Sejam A, B matrizes simétricas:
a) Mostre que A+B é simétrica.
b) Mostre que A B é simétrica se, e somente se, A B=B A.
c) Mostre que 2 A^{2}-3 A+I_{n} é simétrica.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas matrizes simétricas A e B de ordem n. Precisamos usar a definição de matriz simétrica e as propriedades da transposta para:
(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T},
(AB)^{T}=B^{T}A^{T},
e também a propriedade (I_{n})^{T}=I_{n}.\n

Passo 2

Para (a), aplicamos a propriedade da transposta à soma:
(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
Como A e B são simétricas, temos A^{T}=A e B^{T}=B. Logo
(A+B)^{T}=A+B,
ou seja, A+B é simétrica.\n

Passo 3

Para (b), usamos que
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.
Como A e B são simétricas, A^{T}=A e B^{T}=B, então
(AB)^{T}=BA.
Portanto, AB é simétrica se, e somente se,
AB=(AB)^{T}=BA.\n

Passo 4

Para (c), observe o polinômio matricial 2A^{2}-3A+I_{n}. Usamos linearidade da transposta e o fato de (A^{2})^{T}=(A^{T})^{2}:
\bigl(2A^{2}-3A+I_{n}\bigr)^{T} =2\,(A^{2})^{T}-3A^{T}+(I_{n})^{T} =2\,(A^{T})^{2}-3A+I_{n}.
Como A^{T}=A, segue
\bigl(2A^{2}-3A+I_{n}\bigr)^{T} =2A^{2}-3A+I_{n},
logo 2A^{2}-3A+I_{n} é simétrica.\n

Resposta

a) (A+B)^{T}=A+B, logo A+B é simétrica.
b) (AB)^{T}=BA, portanto AB é simétrica se, e somente se, AB=BA.
c) \bigl(2A^{2}-3A+I_{n}\bigr)^{T}=2A^{2}-3A+I_{n}, logo 2A^{2}-3A+I_{n} é simétrica.

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