Questão 06. Se y é função de x, dada implicitamente pela equação \ln (x+y)=x e^{y}, então y^{\prime}(0) vale:
(A) e-1
(B) e
(C) e+1
(D) e+2
(E) e+3

Passo 1

O enunciado define y implicitamente por
\ln(x+y) = x e^{y}
e pede o valor de y'(0). Para isso, precisamos primeiro achar y(0) e depois usar diferenciação implícita para obter uma expressão geral para y'(x).

Passo 2

Para encontrar y(0), substituímos x=0 em
\ln(0+y(0)) = 0\cdot e^{y(0)}
ou seja
\ln\bigl(y(0)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y(0)=1.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x.
A derivada de \ln(x+y) é
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+y)\bigr] = \frac{1}{x+y}\,\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{1+y'}{x+y}.
A derivada de x e^y pelo produto é
\frac{d}{dx}\bigl[x e^{y}\bigr] = 1\cdot e^{y} + x\cdot e^{y}\,y' = e^{y} + x e^{y}y'.

Passo 4

Igualando as derivadas:
\frac{1+y'}{x+y} = e^{y} + x e^{y}y'.
Multiplicando por (x+y) e reorganizando para isolar y', obtemos
1 + y' = (x+y)e^{y} + x(x+y)e^{y}y' \quad\Longrightarrow\quad y'\bigl[1 - x(x+y)e^{y}\bigr] = e^{y}(x+y) - 1.
Logo
y' = \frac{e^{y}(x+y) - 1}{1 - x(x+y)e^{y}}.

Passo 5

Basta agora avaliar em x=0 e y(0)=1:
y'(0) = \frac{e^{1}(0+1) - 1}{1 - 0\cdot(0+1)e^{1}} = \frac{e - 1}{1} = e - 1.

Resposta

e - 1, ou seja, alternativa (A).

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