[Questăo 05] [2,0] Um bendmark indica que o desvio padrăo conhecido da latência de um servidor foi de \sigma= 50 ms . Foram realizadas 16 mediçóes de um servidor e obteve-se média amostral de 440 ms .
a) [0,6] Determine um Intervalo de Confiança (IC) de 95 \% para a média.
b) [0,6] Encontre um IC de 99 \% para a média.
c) [0,8] Pretende-se atualizar o IC para um desvio padrăo desconhecido. Considerando um desvio padrão amostral S=55 \mathrm{~ms}, utilize a distribuição T-student para encontrar um IC de 95 \%.

Passo 1

O enunciado informa que fizemos n=16 medições da latência de um servidor, obtendo média amostral \bar X=440 ms. No item (a) e (b) o desvio-padrão populacional é conhecido ( \sigma=50 ms), então usaremos a distribuição normal. No item (c) o desvio-padrão é desconhecido ( S=55 ms) e usaremos a distribuição t de Student com n-1=15 graus de liberdade.

Passo 2

Para um intervalo de confiança de 95\% com \sigma conhecido, usamos
\bar X \pm z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{0,975}=1,96 e \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{50}{\sqrt{16}}=12,5 ms.
O erro padrão multiplicado por z_{0,975} é
1,96 \times 12{,}5 =24{,}5\text{ ms},
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\text{IC}_{95\%} = \bigl[440-24{,}5,\;440+24{,}5\bigr] = [415{,}5,\;464{,}5]\text{ ms}.

Passo 3

Para um intervalo de confiança de 99\% com \sigma conhecido, usamos
\bar X \pm z_{0,995}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{0,995}\approx2,5758. O erro padrão continua 12,5 ms, de modo que
2{,}5758\times12{,}5\approx32{,}20\text{ ms},
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\text{IC}_{99\%} = \bigl[440-32{,}20,\;440+32{,}20\bigr] \approx[407{,}8,\;472{,}2]\text{ ms}.

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 95\% com \sigma desconhecido, usamos
\bar X \pm t_{0,975,\,15}\,\frac{S}{\sqrt{n}},
onde t_{0,975,\,15}\approx2,131 e \displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{55}{4}=13{,}75 ms.
O produto é
2{,}131\times13{,}75\approx29{,}29\text{ ms},
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\text{IC}_{95\%} = \bigl[440-29{,}29,\;440+29{,}29\bigr] \approx[410{,}7,\;469{,}3]\text{ ms}.

Resposta

a) [415{,}5,\;464{,}5] ms
b) [407{,}8,\;472{,}2] ms
c) [410{,}7,\;469{,}3] ms

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