Questão 1 ( 1,0 ponto). Demonstre, via definição, os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} x^{3}-1=7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite (ε–δ), que
\lim_{x \to 2}\bigl(x^{3}-1\bigr)=7.
Isso significa: para cada \varepsilon>0 devemos encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, tenhamos
\bigl|(x^3-1)-7\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos tomando um \varepsilon>0 arbitrário e examinamos o módulo da diferença entre a função e o limite proposto:
\bigl|(x^3-1)-7\bigr| = |x^3-8| = |x-2|\;\bigl|x^2+2x+4\bigr|.

Passo 3

Precisamos controlar \bigl|x^2+2x+4\bigr] quando x está perto de 2. Para simplificar, impomos que
|x-2|<1,
o que implica 1<x<3. Nessa faixa de x, temos
x^2+2x+4 \le 3^2 + 2\cdot3 +4 =9+6+4=19.
Logo, sob a condição |x-2|<1, vale
|x^3-8| \le 19\,|x-2|.

Passo 4

Para garantir \bigl|(x^3-1)-7\bigr|<\varepsilon, basta exigir
19\,|x-2| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad |x-2| < \frac{\varepsilon}{19}.
Assim, se definirmos
\delta = \min\!\Bigl(1,\;\frac{\varepsilon}{19}\Bigr),
então sempre que 0<|x-2|<\delta teremos simultaneamente |x-2|<1 e |x-2|<\varepsilon/19, de onde
\bigl|(x^3-1)-7\bigr|\le19\,|x-2|<19\cdot\frac{\varepsilon}{19}=\varepsilon.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2}(x^3-1)=7.

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