QUESTÃO 05 - Calcule o divergente do campo vetorial dado.
\vec{v}(x, y)=-\operatorname{tg}(y+4 \cos y) \vec{\imath}+[x-\ln (x y)] \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o divergente do campo vetorial dado. O campo vetorial é
\vec{v}(x,y) = -\operatorname{tg}(y+4\cos y)\,\vec{\imath} + [x-\ln(xy)]\,\vec{\jmath}.
Informações relevantes que nos foram dadas:
  • A componente na direção x é \;v_1(x,y) = -\operatorname{tg}(y+4\cos y)\;.
  • A componente na direção y é \;v_2(x,y) = x-\ln(xy)\;.
  • Pelo termo \ln(xy) sabemos que o domínio considerado exige \;xy>0\; (logo x e y têm o mesmo sinal) e, em particular, y\neq 0.
    A pergunta que vamos responder: qual é o divergente do campo \vec{v}, isto é, a expressão de \nabla\cdot\vec{v} em termos de x e y?

Passo 2

Definição e ideia para calcular: o divergente de um campo vetorial em duas dimensões \vec{v}=(v_1,v_2) é a soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:
\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}.
Explicando didaticamente: a derivada parcial \dfrac{\partial v_1}{\partial x} significa derivar v_1 em relação a x mantendo y fixo; análogo para \dfrac{\partial v_2}{\partial y}. Quando uma expressão depende apenas de uma variável, a derivada parcial em relação à outra é zero. Também usaremos regras básicas de derivação: derivada de \ln e a cadeia (se necessário).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial v_1}{\partial x} para \;v_1(x,y)=-\operatorname{tg}(y+4\cos y)\;.
  • Observação: \;v_1 depende apenas de y, não há nenhum x na expressão.
  • Para derivada parcial em relação a x mantemos y constante; como não há dependência em x, a derivada é zero:
\frac{\partial v_1}{\partial x}=0.
(Comentário didático: é o mesmo que dizer que a função f(y) vista como função de duas variáveis f(x,y)=f(y) tem \partial f/\partial x=0.)

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v_2}{\partial y} para \;v_2(x,y)=x-\ln(xy)\;.
Duas maneiras equivalentes e bem simples:
Método A — usar decomposição do logaritmo:
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
Como \ln x é função só de x, ao derivar em relação a y ela é tratada como constante e tem derivada zero. Já \ln y tem derivada 1/y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(xy)\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}(\ln x+\ln y)=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}.
Portanto
\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x-\ln(xy)\bigr)=0-\frac{1}{y}=-\frac{1}{y}.
Método B — usar regra da cadeia diretamente:
\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac{1}{y},
que dá o mesmo resultado. Ambas as maneiras mostram passo a passo como chegar em \dfrac{\partial v_2}{\partial y}=-\dfrac{1}{y}.

Passo 5

Juntando o que foi calculado:
  • \dfrac{\partial v_1}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial v_2}{\partial y}=-\dfrac{1}{y}.
Somando essas duas parcelas obtém-se o divergente do campo.

Resposta

-\dfrac{1}{y}

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