QUESTÃO 05 - Calcule o divergente do campo vetorial dado.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o divergente do campo vetorial dado. O campo vetorial é
Informações relevantes que nos foram dadas:
- A componente na direção
é - A componente na direção
é - Pelo termo
sabemos que o domínio considerado exige (logo e têm o mesmo sinal) e, em particular, .
A pergunta que vamos responder: qual é o divergente do campo, isto é, a expressão de em termos de e ?
Passo 2
Definição e ideia para calcular: o divergente de um campo vetorial em duas dimensões
é a soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:
Explicando didaticamente: a derivada parcial
significa derivar
em relação a
mantendo
fixo; análogo para
. Quando uma expressão depende apenas de uma variável, a derivada parcial em relação à outra é zero. Também usaremos regras básicas de derivação: derivada de
e a cadeia (se necessário).
Passo 3
Calcular
para
- Observação:
depende apenas de , não há nenhum na expressão. - Para derivada parcial em relação a
mantemos constante; como não há dependência em , a derivada é zero:
(Comentário didático: é o mesmo que dizer que a função
vista como função de duas variáveis
tem
.)
Passo 4
Calcular
para
Duas maneiras equivalentes e bem simples:
Duas maneiras equivalentes e bem simples:
Método A — usar decomposição do logaritmo:
Como
é função só de
, ao derivar em relação a
ela é tratada como constante e tem derivada zero. Já
tem derivada
. Assim
Portanto
Método B — usar regra da cadeia diretamente:
que dá o mesmo resultado. Ambas as maneiras mostram passo a passo como chegar em
.
Passo 5
Juntando o que foi calculado:
-
. -
.
Somando essas duas parcelas obtém-se o divergente do campo.