Seja A é uma matriz de ordem n.
Mostre que se A^{3}=0 então I_{n}-A é inversível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se uma matriz A\in M_{n}(\mathbb{K}) satisfaz \,A^{3}=0, então a matriz \,I_{n}-A é invertível.
Conteúdo: matriz nilpotente e invertibilidade. Vamos usar a definição: I_{n}-A é invertível se existe B tal que (I_{n}-A)B=I_{n} e B(I_{n}-A)=I_{n}.

Passo 2

Como A^{3}=0, a série geométrica finita
I_{n}+A+A^{2}
é natural de considerar como candidato a inversa de I_{n}-A. Definimos
B = I_{n}+A+A^{2}.

Passo 3

Calculamos o produto à esquerda:
(I_{n}-A)\,B = (I_{n}-A)\,(I_{n}+A+A^{2}) = I_{n}+A+A^{2} -A -A^{2}-A^{3}.

Passo 4

Como A^{3}=0, o termo -A^{3} some e os +A e -A, +A^{2} e -A^{2} também se cancelam, sobrando
(I_{n}-A)\,B = I_{n}.

Passo 5

De modo idêntico, calculamos o produto à direita:
B\,(I_{n}-A) = (I_{n}+A+A^{2})(I_{n}-A) = I_{n}-A +A -A^{2} +A^{2}-A^{3} = I_{n},
usando novamente A^{3}=0.

Passo 6

Como existe B tal que (I_{n}-A)B=I_{n} e B(I_{n}-A)=I_{n}, concluímos que I_{n}-A é invertível. A inversa é exatamente
\boxed{(I_{n}-A)^{-1} = I_{n} + A + A^{2}.}

Resposta

(I_{n}-A)^{-1} = I_{n} + A + A^{2}.

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