Seja A é uma matriz de ordem
.
Mostre que se
então
é inversível.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se uma matriz
satisfaz
, então a matriz
é invertível.
Conteúdo: matriz nilpotente e invertibilidade. Vamos usar a definição: é invertível se existe
tal que
e
.
Conteúdo: matriz nilpotente e invertibilidade. Vamos usar a definição:
Passo 2
Como
, a série geométrica finita
é natural de considerar como candidato a inversa de
. Definimos
Passo 3
Calculamos o produto à esquerda:
Passo 4
Como
, o termo
some e os
e
,
e
também se cancelam, sobrando
Passo 5
De modo idêntico, calculamos o produto à direita:
usando novamente
.
Passo 6
Como existe
tal que
e
, concluímos que
é invertível. A inversa é exatamente