Questão 07. O valor do limite
\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{4 x-1}}{\sqrt[4]{3 x-5}-2}
é igual a:
(A) 0
(B) 16 / 81
(C) 34 / 81
(D) 1
(E) 91 / 81

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{4x-1}}{\sqrt[4]{3x-5}-2}
Percebemos que, ao substituir x=7, tanto o numerador quanto o denominador dão 0. Então temos uma forma indeterminada 0/0 e podemos usar a expansão de primeira ordem (binomial ou Taylor) em torno de x=7.

Passo 2

Defina \delta = x-7. Então x=7+\delta e, quando x\to7, temos \delta\to0. Reescrevendo cada termo:
\sqrt{x+2}=\sqrt{9+\delta},\quad \sqrt[3]{4x-1}=\sqrt[3]{27+4\delta},\quad \sqrt[4]{3x-5}=\sqrt[4]{16+3\delta}.

Passo 3

Expandimos cada raiz até a ordem linear em \delta:
Para \sqrt{9+\delta}, use \sqrt{9+\delta}=3(1+\tfrac{\delta}{9})^{1/2}\approx3\bigl(1+\tfrac12\cdot\tfrac{\delta}{9}\bigr)=3+\tfrac{\delta}{6}.
Para \sqrt[3]{27+4\delta}, use \sqrt[3]{27+4\delta}=3(1+\tfrac{4\delta}{27})^{1/3}\approx3\bigl(1+\tfrac13\cdot\tfrac{4\delta}{27}\bigr)=3+\tfrac{4\delta}{27}.
Logo o numerador fica
\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{4x-1}\approx\Bigl(3+\tfrac{\delta}{6}\Bigr)-\Bigl(3+\tfrac{4\delta}{27}\Bigr) =\delta\Bigl(\tfrac{1}{6}-\tfrac{4}{27}\Bigr) =\delta\cdot\tfrac{1}{54}.

Passo 4

Para o denominador, expanda
\sqrt[4]{16+3\delta}=2(1+\tfrac{3\delta}{16})^{1/4}\approx2\bigl(1+\tfrac14\cdot\tfrac{3\delta}{16}\bigr)=2+\tfrac{3\delta}{32}.
Então
\sqrt[4]{3x-5}-2\approx\Bigl(2+\tfrac{3\delta}{32}\Bigr)-2 =\delta\cdot\tfrac{3}{32}.

Passo 5

O quociente vale, para \delta\to0,
\frac{\delta\cdot\tfrac{1}{54}}{\delta\cdot\tfrac{3}{32}} =\frac{1/54}{3/32} =\frac{1}{54}\cdot\frac{32}{3} =\frac{32}{162} =\frac{16}{81}.

Resposta

(B)

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