Questão 09. Deseja-se construir um cilindro circular reto de altura
e raio da base
, com
de volume. Sabendo-se que o custo do material utilizado no fundo da caixa e na superfície lateral é o dobro do custo do material da tampa, o valor de
, em
, que minimiza o custo total do cilindro é:
(A) 8
(B) 7
(C) 5
(D) 3
(E) 2
(A) 8
(B) 7
(C) 5
(D) 3
(E) 2
Passo 1
O enunciado pede o raio
que minimiza o custo de um cilindro de volume fixo
,d
, sabendo que o custo por área do fundo e da superfície lateral vale o dobro do custo por área da tampa. O conteúdo aqui é otimização com restrição (volume fixo), usando derivada para encontrar o mínimo.
Passo 2
Escrevemos a condição de volume:
Daí isolamos a altura
:
Passo 3
Calculamos as áreas envolvidas e atribuímos custos relativos. Seja o custo por unidade de área da tampa igual a
. Logo, o custo por unidade de área do fundo e da lateral vale
.
- Área da tampa:
, custo . - Área do fundo:
, custo . - Área lateral:
, custo .
Somando, o custo total em função dee é
Passo 4
Substituímos
em
:
Passo 5
Para minimizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resposta
E)