Questão 09. Deseja-se construir um cilindro circular reto de altura h e raio da base r, com 12 \pi d m^{3} de volume. Sabendo-se que o custo do material utilizado no fundo da caixa e na superfície lateral é o dobro do custo do material da tampa, o valor de r, em d m, que minimiza o custo total do cilindro é:
(A) 8
(B) 7
(C) 5
(D) 3
(E) 2

Passo 1

O enunciado pede o raio r que minimiza o custo de um cilindro de volume fixo 12\pi,d m^{3}, sabendo que o custo por área do fundo e da superfície lateral vale o dobro do custo por área da tampa. O conteúdo aqui é otimização com restrição (volume fixo), usando derivada para encontrar o mínimo.

Passo 2

Escrevemos a condição de volume:
\pi r^2 h = 12\pi.
Daí isolamos a altura h:
h = \frac{12\pi}{\pi r^2} = \frac{12}{r^2}.

Passo 3

Calculamos as áreas envolvidas e atribuímos custos relativos. Seja o custo por unidade de área da tampa igual a 1. Logo, o custo por unidade de área do fundo e da lateral vale 2.
  • Área da tampa: \pi r^2, custo = 1\cdot\pi r^2.
  • Área do fundo: \pi r^2, custo = 2\cdot\pi r^2.
  • Área lateral: 2\pi r h, custo = 2\cdot (2\pi r h)=4\pi r h.
    Somando, o custo total em função de r e h é
C(r,h)=\pi r^2 + 2\pi r^2 + 4\pi r h = 3\pi r^2 + 4\pi r h.

Passo 4

Substituímos h = 12/r^2 em C(r,h):
C(r)=3\pi r^2 + 4\pi r\biggl(\frac{12}{r^2}\biggr) =3\pi r^2 + \frac{48\pi}{r}.

Passo 5

Para minimizar, derivamos em relação a r e igualamos a zero:
C'(r)=6\pi r - 48\pi\,r^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 6\pi r = 48\pi\,r^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 6r^3 = 48 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad r = 2.

Resposta

E) 2

Exercícios relacionados