Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso:
u=(1,1,1,1) e v=(0,0,1,1) em V=R^{4} com o produto interno usual

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^4 com o produto interno usual:
u=(1,1,1,1),\qquad v=(0,0,1,1).
O que pede:
  • a distância entre u e v;
  • o ângulo entre u e v;
  • a projeção de u sobre v.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno (ou produto escalar). Para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4) no produto interno usual vale
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Aplicando a u e v:
\langle u,v\rangle = 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 0+0+1+1 = 2.
Aqui \langle u,v\rangle é o número que vai aparecer nas fórmulas de norma, ângulo e projeção.

Passo 3

Definição de norma (comprimento) de um vetor. Para x,
\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.
Calculemos \|u\| e \|v\|:
\langle u,u\rangle = 1^2+1^2+1^2+1^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad \|u\|=\sqrt{4}=2,
\langle v,v\rangle = 0^2+0^2+1^2+1^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad \|v\|=\sqrt{2}.
Expliquei: \|u\| é o comprimento de u, \|v\| o de v.

Passo 4

Distância entre u e v. Definição: a distância é a norma da diferença,
\text{dist}(u,v)=\|u-v\|.
Calcule u-v e sua norma:
u-v=(1,1,1,1)-(0,0,1,1)=(1,1,0,0).
\|u-v\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2+0^2}=\sqrt{2}.
Portanto a distância é \sqrt{2}. (Passo a passo: subtrai componente a componente, depois aplica a definição da norma.)

Passo 5

Ângulo entre u e v. Fórmula: se \theta é o ângulo entre vetores,
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Substituindo os valores já calculados:
\cos\theta = \frac{2}{2\cdot\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isto dá
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4},
ou seja \theta=45^\circ. (Interpretação: o cosseno igual a 1/\sqrt{2} corresponde a \pi/4.)

Passo 6

Projeção de u sobre v. Fórmula da projeção ortogonal (projeção de u na direção de v):
\operatorname{proj}_{v}u = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Aqui \langle v,v\rangle=\|v\|^2=2 e \langle u,v\rangle=2, então o coeficiente escalar é
\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}=\frac{2}{2}=1.
Logo
\operatorname{proj}_{v}u = 1\cdot v = v = (0,0,1,1).
(Isto significa que a componente de u na direção de v é exatamente v.)

Passo 7

Verificação e intuição rápida: a componente ortogonal de u é u-\operatorname{proj}_{v}u = u-v = (1,1,0,0). Veja que isto é ortogonal a v porque
\langle u-v, v\rangle = \langle (1,1,0,0),(0,0,1,1)\rangle = 0,
confirmando que a decomposição u=\operatorname{proj}_v u + (u-\operatorname{proj}_v u) é uma soma de partes paralela e perpendicular a v. Força nisso — tá certinho!

Resposta

Distância: \sqrt{2}
Ângulo: \dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ)
Projeção: (0,0,1,1)

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