Questão-07. Determine a distância, o ângulo entre os vetores u e v, e a projeção de u sobre v, em cada caso:
e
em
com o produto interno usual
Passo 1
O enunciado dá os vetores em
com o produto interno usual:
O que pede:
- a distância entre
e ; - o ângulo entre
e ; - a projeção de
sobre .
Passo 2
Definição e cálculo do produto interno (ou produto escalar). Para
e
no produto interno usual vale
Aplicando a
e
:
Aqui
é o número que vai aparecer nas fórmulas de norma, ângulo e projeção.
Passo 3
Definição de norma (comprimento) de um vetor. Para
,
Calculemos
e
:
Expliquei:
é o comprimento de
,
o de
.
Passo 4
Distância entre
e
. Definição: a distância é a norma da diferença,
Calcule
e sua norma:
Portanto a distância é
. (Passo a passo: subtrai componente a componente, depois aplica a definição da norma.)
Passo 5
Ângulo entre
e
. Fórmula: se
é o ângulo entre vetores,
Substituindo os valores já calculados:
Isto dá
ou seja
. (Interpretação: o cosseno igual a
corresponde a
.)
Passo 6
Projeção de
sobre
. Fórmula da projeção ortogonal (projeção de
na direção de
):
Aqui
e
, então o coeficiente escalar é
Logo
(Isto significa que a componente de
na direção de
é exatamente
.)
Passo 7
Verificação e intuição rápida: a componente ortogonal de
é
. Veja que isto é ortogonal a
porque
confirmando que a decomposição
é uma soma de partes paralela e perpendicular a
. Força nisso — tá certinho!
Resposta
Distância:
Ângulo: (ou
)
Projeção:
Ângulo:
Projeção: