1. Sendo |u|=2,|v|=3,|w|=4, u v=90^circ e w=30^circ, calcular:
OBS.: u, v e w são coplanares.
a) |u+v|
b) vers (u+v)
c) (u+v) cdot(u-v)
d) |u+v+w|

Passo 1

O enunciado dá três vetores coplanares u,v,w com
|u|=2,|v|=3,|w|=4,
ângulo entre u e v igual a 90^circ e ângulo entre u+v e w igual a 30^circ.
Vamos usar os seguintes conteúdos:
  1. Soma de vetores e teorema de Pitágoras (pois uperpv).
  2. Definição de versor: vers(a)=tfraca|a|.
  3. Produto escalar e identidades (a+b)cdot(a-b)=|a|^2-|b|^2.
  4. Lei dos cossenos vetorial para calcular |u+v+w|.

Passo 2

Como uperpv, a magnitude de u+v vem do Pitágoras:
|u+v| = raiz|u|^2 + |v|^2 = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13

Passo 3

O versor de u+v é
vers(u+v) = u+v|u+v| = u+vraiz13

Passo 4

Para o produto escalar
(u+v)cdot(u-v), usamos
(u+v)cdot(u-v) = |u|^2 - |v|^2 = 2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5

Passo 5

Para |u+v+w|, note que já temos |u+v|=raiz13 e o ângulo entre u+v e w é 30^circ. Aplicamos a lei dos cossenos vetorial:
|u+v+w|^2 = |u+v|^2 + |w|^2 + 2,|u+v|,|w|,cos 30^circ
Substituindo valores:
|u+v+w|^2 = 13 + 16 + 2cdotraiz13cdot 4cdot raiz32 = 29 + 4raiz39
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|u+v+w| = raiz29 + 4raiz39

Resposta

a) |u+v| = raiz13
b) vers(u+v) = u+vraiz13
c) (u+v)cdot(u-v) = -5
d) |u+v+w| = raiz29 + 4raiz39

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