Questão 4 (10 pontos) Em cada caso, calcule o limite dado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+1-\cos x}{x^{2}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x+1-\cos x}{x^{2}-4x}.
Conteúdo: cálculo de limite de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e ambas são diferenciáveis, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que este último exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
\text{numerador} = 0 + 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0,
\text{denominador} = 0^2 - 4\cdot0 = 0.
Logo temos 0/0, condição clássica para aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos uma vez a regra de l’Hôpital. Derivadas:
f(x)=x+1-\cos x\;\Longrightarrow\;f'(x)=1+\sin x,
g(x)=x^{2}-4x\;\Longrightarrow\;g'(x)=2x-4.
Assim
\lim_{x\to 0}\frac{x+1-\cos x}{x^{2}-4x} =\lim_{x\to 0}\frac{1+\sin x}{2x-4}.

Passo 4

Basta agora avaliar no ponto x=0:
1+\sin(0)=1+0=1, \quad 2\cdot0-4=-4,
portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1+\sin x}{2x-4}=\frac{1}{-4}=-\tfrac14.

Resposta

-\tfrac14

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