Questão 08. Dadas as coordenadas esféricas de um ponto P(3, 2 pi3, pi4), calcule as em coordenadas cartesianas deste ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas esféricas do ponto P como
(rho,theta,varphi) = l(3,tfrac2pi3,tfracpi4r)
e pede as coordenadas cartesianas (x,y,z).
Para isso usamos as fórmulas de conversão
x = rho ,sinvarphi,costheta, y = rho ,sinvarphi,sintheta, z = rho ,cosvarphi

Passo 2

Calcular x. Primeiro note que
sinvarphi = sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22 e
costheta = cosl(tfrac2pi3r)=-tfrac12.
Logo
x = 3 cdot raiz22cdot!l(-12r) = -3raiz24

Passo 3

Calcular y. Temos
sintheta = sinl(tfrac2pi3r)=raiz32,
então
y = 3 cdot raiz22cdotraiz32 = 3raiz64

Passo 4

Calcular z. Basta usar
cosvarphi = cosl(tfracpi4r)=tfracraiz22, logo
z = 3 cdot raiz22 = 3raiz22

Resposta

(x,y,z) = l(-tfrac3raiz24,,tfrac3raiz64,,tfrac3raiz22r)

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