(Questão 1)[3,00]
Dado o sistema , seja C a circunferência de centro O e raio r>0. Mostre que C, em qualquer sistema obtido por rotação de Sigma1, tem equação u^2+v^2=r^2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um sistema de coordenadas chamado Sigma1, com o centro O e dois eixos e1 e e2. Temos uma circunferência C com centro em O e raio r. O objetivo aqui é mostrar que, se a gente girar esse sistema de coordenadas de qualquer jeito, a equação da circunferência continua sendo u^2 + v^2 = r^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a rotação de sistemas de coordenadas e como isso afeta a equação da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa rotacionar um sistema de coordenadas. Rotacionar Sigma1 significa que estamos girando os eixos e1 e e2 em torno do ponto O por um ângulo qualquer theta. Quando fazemos isso, obtemos um novo sistema de coordenadas, digamos Sigma' = (O, e'1, e'2).
Passo 3
Agora, para entender como as coordenadas (x, y) no sistema Sigma1 se transformam nas coordenadas (u, v) no sistema girado Sigma', usamos a matriz de rotação. As fórmulas de transformação são:
u = x costheta + y sintheta
v = -x sintheta + y costheta
Essas equações nos dizem como converter as coordenadas originais para as novas coordenadas após a rotação.
Passo 4
A equação da circunferência no sistema original Sigma1 é:
x^2 + y^2 = r^2
Agora, vamos substituir x e y pelas expressões em termos de u e v que obtivemos na rotação:
x = u costheta - v sintheta
y = u sintheta + v costheta
Substituindo na equação da circunferência:
(u costheta - v sintheta)^2 + (u sintheta + v costheta)^2 = r^2
Percebemos que os termos -2uv costheta sintheta e +2uv sintheta costheta se cancelam. Além disso, u^2 (cos^2theta + sin^2theta) + v^2 (sin^2theta + cos^2theta) = u^2 + v^2. Portanto, a equação simplifica para:
u^2 + v^2 = r^2
Resposta
Assim, mostramos que, mesmo após qualquer rotação do sistema de coordenadas Sigma1, a equação da circunferência C permanece sendo u^2 + v^2 = r^2.