Questão 3 (08 pontos) Uma formiga, no plano coordenado x y, está situada no ponto P_{0}=(0,4). A temperatura num ponto ( x, y ) do plano, na região em que ocorre a observação, é dada por T(x, y)=\ln \left(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}-3\right).
(a) A função T é diferenciável no ponto P_{0} ? Em caso afirmativo, encontre a equação do plano tangente ao gráfico de T no ponto (0,4, T(0,4)).
(b) A formiga, partindo de P_{0}, anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo da trajetória permanece constante.
(c) Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer, se resfriar ou permanecer com a mesma temperatura, se ela tender a se deslocar, partindo de P_{0} :
i) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado x,
ii) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado y.
(iii) Qual é a temperatura ao longo dessa curva?
(iv) Qual é a equação da trajetória tomada pela formiga?
(v) Esboce a trajetória.

Passo 1

O enunciado apresenta a função de temperatura
T(x,y)=\ln\bigl(x^2+\tfrac{y^2}{4}-3\bigr)
e a formiga em P_0=(0,4). Precisamos verificar se T é diferenciável em P_0, achar o plano tangente ao gráfico de T em (0,4,T(0,4)), usar gradiente e derivadas direcionais para analisar o aquecimento ou resfriamento nas direções dos eixos, e finalmente caracterizar a trajetória de nível em que T permanece constante.

Passo 2

Definimos a função interior
f(x,y)=x^2+\tfrac{y^2}{4}-3.
O domínio de T exige f(x,y)>0. Em P_0 temos
f(0,4)=0^2+\tfrac{4^2}{4}-3=4-3=1>0,
logo T é composição de \ln (diferenciável em (0,\infty)) com f (diferenciável em todo \mathbb R^2), sendo portanto diferenciável em P_0. Além disso
T(0,4)=\ln(1)=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de T via regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{2},
\frac{\partial T}{\partial x} =\frac{1}{f(x,y)}\cdot2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} =\frac{1}{f(x,y)}\cdot\frac{y}{2}.
Em P_0:
\frac{\partial T}{\partial x}(0,4)=\frac{2\cdot0}{1}=0, \qquad \frac{\partial T}{\partial y}(0,4)=\frac{4/2}{1}=2.
Assim o gradiente em P_0 é
\nabla T(0,4)=(0,2).

Passo 4

O plano tangente ao gráfico de T em (0,4,0) é
z-0 =\frac{\partial T}{\partial x}(0,4)\,(x-0) +\frac{\partial T}{\partial y}(0,4)\,(y-4),
ou seja
z=0\cdot x+2(y-4) \quad\Longrightarrow\quad z=2y-8.

Passo 5

Para a direção do eixo x usamos o vetor unitário u=(1,0):
D_{u}T(0,4)=\nabla T(0,4)\cdot u =(0,2)\cdot(1,0)=0,
ou seja, movendo-se no sentido positivo de x, a temperatura não muda.
Para a direção do eixo y com v=(0,1):
D_{v}T(0,4)=\nabla T(0,4)\cdot v =(0,2)\cdot(0,1)=2>0,
portanto movendo-se no sentido positivo de y, a formiga esquenta.

Passo 6

Como a formiga anda mantendo a temperatura constante igual a T(0,4)=0, sua trajetória é o nível
T(x,y)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\bigl(x^2+\tfrac{y^2}{4}-3\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+\tfrac{y^2}{4}-3=1,
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x^2+\frac{y^2}{4}=4.

Passo 7

A equação implícita da trajetória é
x^2+\frac{y^2}{4}=4.
Em forma paramétrica, usando por exemplo
x=2\cos t,\quad y=4\sin t,
temos a porção da elipse que passa por (0,4) quando t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 8

Esboço: trata-se de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento 2 e semi-eixo em y de comprimento 4. A formiga parte de (0,4), no ponto superior da elipse, e percorre a curva até retornar ao mesmo nível de temperatura.

Resposta

(a) Sim. O plano tangente é z=2y-8.
(c.i) Temperatura constante na direção x.
(c.ii) A formiga esquenta na direção positiva de y.
(iii) T\equiv0 ao longo da trajetória.
(iv) x^2+\tfrac{y^2}{4}=4.
(v) Elipse de semi-eixos 2 (eixo x) e 4 (eixo y).

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