Questão 3 (08 pontos) Uma formiga, no plano coordenado
, está situada no ponto
. A temperatura num ponto (
) do plano, na região em que ocorre a observação, é dada por
.
(a) A função
é diferenciável no ponto
? Em caso afirmativo, encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) A formiga, partindo de
, anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo da trajetória permanece constante.
(c) Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer, se resfriar ou permanecer com a mesma temperatura, se ela tender a se deslocar, partindo de
:
i) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado
,
ii) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado
.
(iii) Qual é a temperatura ao longo dessa curva?
(iv) Qual é a equação da trajetória tomada pela formiga?
(v) Esboce a trajetória.
(a) A função
(b) A formiga, partindo de
(c) Determine se a expectativa da formiga é de se aquecer, se resfriar ou permanecer com a mesma temperatura, se ela tender a se deslocar, partindo de
i) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado
ii) na direção e sentido (orientação) do eixo coordenado
(iii) Qual é a temperatura ao longo dessa curva?
(iv) Qual é a equação da trajetória tomada pela formiga?
(v) Esboce a trajetória.
Passo 1
O enunciado apresenta a função de temperatura
e a formiga em
. Precisamos verificar se
é diferenciável em
, achar o plano tangente ao gráfico de
em
, usar gradiente e derivadas direcionais para analisar o aquecimento ou resfriamento nas direções dos eixos, e finalmente caracterizar a trajetória de nível em que
permanece constante.
Passo 2
Definimos a função interior
O domínio de
exige
. Em
temos
logo
é composição de
(diferenciável em
) com
(diferenciável em todo
), sendo portanto diferenciável em
. Além disso
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
via regra da cadeia:
Em
:
Assim o gradiente em
é
Passo 4
O plano tangente ao gráfico de
em
é
ou seja
Passo 5
Para a direção do eixo
usamos o vetor unitário
:
ou seja, movendo-se no sentido positivo de
, a temperatura não muda.
Para a direção do eixo com
:
Para a direção do eixo
portanto movendo-se no sentido positivo de
, a formiga esquenta.
Passo 6
Como a formiga anda mantendo a temperatura constante igual a
, sua trajetória é o nível
logo
Passo 7
A equação implícita da trajetória é
Em forma paramétrica, usando por exemplo
temos a porção da elipse que passa por
quando
.
Passo 8
Esboço: trata-se de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. A formiga parte de
, no ponto superior da elipse, e percorre a curva até retornar ao mesmo nível de temperatura.
Resposta
(a) Sim. O plano tangente é
.
(c.i) Temperatura constante na direção .
(c.ii) A formiga esquenta na direção positiva de .
(iii) ao longo da trajetória.
(iv) .
(v) Elipse de semi-eixos (eixo
) e
(eixo
).
(c.i) Temperatura constante na direção
(c.ii) A formiga esquenta na direção positiva de
(iii)
(iv)
(v) Elipse de semi-eixos