Questão 2 (08 pontos) Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x y \neq 0 \\\\ 1 & \text { se } & x y=0\end{array}\right..
(a) Calcule, se existirem, f_{x}(0,0), f_{y}(0,0), f_{x}(0, y), \operatorname{com} y \neq 0, \mathrm{e} f_{y}(x, 0), \operatorname{com} x \neq 0.
(b) f(x, y) é contínua em (0,0) ? Por quê?
(c) f(x, y) é diferenciável na origem ? Por quê?
e pede em (a) as derivadas parciais em pontos da origem e sobre os eixos, em (b) se f é contínua em (0,0) e em (c) se f é diferenciável na origem.
Para isso vamos usar as definições de derivada parcial por limite, o critério de continuidade (limites por direções diferentes) e o fato de que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 2
Calcular \displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e \displaystyle f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Como em (h,0) e em (0,k) temos xy=0, vale f(h,0)=1 e f(0,k)=1, e também f(0,0)=1. Logo
Se y\neq0 então em (0,y) ainda xy=0 e f(0,y)=1, mas para h\neq0 temos h\,y\neq0 e f(h,y)=0. Logo o numerador é -1 e
\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\frac{0-1}{h}=-\frac1h,
que não tende a um valor finito quando h\to0. Assim f_x(0,y) não existe.
De modo análogo, para x\neq0, \displaystyle f_y(x,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k} também dá -1/k e não converge, logo f_y(x,0) não existe.
Passo 4
Verificar continuidade em (0,0). Temos f(0,0)=1. Se a função fosse contínua, qualquer caminho em que (x,y)\to(0,0) deveria levar f(x,y)\to1. Mas, por exemplo, ao longo da reta y=x\neq0 temos xy=x^2\neq0, logo f(x,x)=0. Assim
\lim_{x\to0}f(x,x)=0\neq1.
Logo o limite de f(x,y) ao se aproximar da origem não é sempre 1, e f é descontinua em (0,0).
Passo 5
Concluir sobre diferenciabilidade em (0,0). Como diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, e vimos que f não é contínua em (0,0), segue que f não é diferenciável na origem.
Resposta
(a) f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0; para y\neq0, f_x(0,y) não existe; para x\neq0, f_y(x,0) não existe.
(b) f não é contínua em (0,0) porque, por exemplo, \lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=x}f(x,y)=0\neq f(0,0)=1.
(c) f não é diferenciável na origem, pois não chega a ser contínua aí.