Questão 3 (11 pontos) Existem pontos do elipsoide \frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{6}=\frac{8}{3} nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 3 x-6 y+2 z=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar pontos no elipsoide
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{6}=\frac{8}{3}
cujo plano tangente seja paralelo ao plano
3x - 6y + 2z = 0.
O método consiste em usar que o vetor gradiente de
F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{6}
é normal ao plano tangente, e exigir que ele seja paralelo ao vetor normal (3,-6,2) do plano dado.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{x}{2},\,2y,\,\tfrac{z}{3}\Bigr).

Passo 3

Para que o plano tangente seja paralelo a 3x-6y+2z=0, deve existir \lambda tal que
\bigl(\tfrac{x}{2},\,2y,\,\tfrac{z}{3}\bigr) = \lambda\,(3,-6,2).
Isto dá o sistema
\begin{cases} \tfrac{x}{2}=3\lambda,\\\\ 2y=-6\lambda,\\\ \tfrac{z}{3}=2\lambda, \end{cases}
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x=6\lambda,\quad y=-3\lambda,\quad z=6\lambda.

Passo 4

Substituindo (x,y,z)=(6\lambda,-3\lambda,6\lambda) no elipsoide:
\frac{(6\lambda)^{2}}{4}+(-3\lambda)^{2}+\frac{(6\lambda)^{2}}{6} =9\lambda^{2}+9\lambda^{2}+6\lambda^{2} =24\lambda^{2}
deve ser igual a \tfrac{8}{3}. Assim,
24\lambda^{2}=\frac{8}{3},
\lambda^{2}=\frac{1}{9},
\lambda=\pm\frac{1}{3}.

Passo 5

Para \lambda=\tfrac{1}{3} obtemos
(x,y,z)=(2,-1,2),
e para \lambda=-\tfrac{1}{3} obtemos
(x,y,z)=(-2,1,-2).

Resposta

Existem dois pontos:
(2,-1,2) \quad\text{e}\quad (-2,1,-2),
nesses pontos o plano tangente ao elipsoide é paralelo a 3x-6y+2z=0.

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