Questão 2 (11 pontos) Seja f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)-x^{2}.
(a) Qual é o domínio natural de f ?
(b) Mostre que f não possui extremos absolutos (Sugestão: considere a restrição de f à curva x=0, y>0 ).
(c) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) de f se houver.
(d) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de f, de valor máximo local de f ou de ponto de sela do gráfico de f.
(e) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de f ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-x^{2}
e pede:
– (a) domínio natural de f;
– (b) ausência de extremos absolutos (sugestão: olhar x=0,y>0);
– (c) pontos críticos;
– (d) classificação desses pontos ( \min, \max ou sela);
– (e) valores dos extremos locais, se houver.
O conteúdo necessário envolve domínio de log, limites unilaterais, cálculo de gradiente e Hessiana para classificação de pontos críticos.

Passo 2

Para achar o domínio natural, lembramos que \ln(u) só está definido se u>0. Aqui u=x^{2}+y^{2}, logo exigimos
x^{2}+y^{2}>0.
Isto exclui apenas o ponto (0,0).
Portanto
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}.

Passo 3

Para mostrar que não há extremos absolutos, restringimos a curva x=0, y>0. Nesse caso
f(0,y)=\ln(y^{2})=2\ln(y).
Quando y\to0^{+}, 2\ln(y)\to-\infty.
Quando y\to+\infty, 2\ln(y)\to+\infty.
Logo f não tem nem máximo absoluto nem mínimo absoluto no seu domínio.

Passo 4

Procuramos pontos críticos resolvendo \nabla f=0. Calculamos
f_{x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}-2x \,,\qquad f_{y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
A condição \nabla f=0
\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}=0\;\Longrightarrow\;y=0,
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}-2x=0\;\Longrightarrow\;2x\Bigl(\frac1{x^{2}+y^{2}}-1\Bigr)=0.
Como y=0, a segunda equação torna-se
2x\Bigl(\frac1{x^{2}}-1\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}=1.
O caso x=0,y=0 não pertence ao domínio. Restam
(x,y)=(1,0)\quad\text{e}\quad(x,y)=(-1,0).

Passo 5

Para classificar, usamos a Hessiana. As segundas derivadas são
f_{xx}= \frac{2}{r^{2}}-\frac{4x^{2}}{r^{4}}-2, \quad f_{yy}= \frac{2}{r^{2}}-\frac{4y^{2}}{r^{4}}, \quad f_{xy}= -\frac{4xy}{r^{4}},
com r^{2}=x^{2}+y^{2}. Em (1,0) e (-1,0) temos r^{2}=1, y=0, x^{2}=1, logo
f_{xx}=-4,\quad f_{yy}=2,\quad f_{xy}=0.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-4)\cdot2-0=-8<0,
o que caracteriza ponto de sela.

Passo 6

Como ambos os pontos críticos têm D<0, são pontos de sela. Logo não há mínimos nem máximos locais.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}.
(b) Não há extremos absolutos, pois em x=0,y>0 temos f(0,y)=2\ln(y)\to\pm\infty.
(c) Pontos críticos: (1,0) e (-1,0).
(d) Ambos são pontos de sela D<0.
(e) Não existem valores de máximos ou mínimos locais.

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