Questão 2 (11 pontos) Seja
.
(a) Qual é o domínio natural de
?
(b) Mostre que
não possui extremos absolutos (Sugestão: considere a restrição de
à curva
).
(c) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) de
se houver.
(d) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de
, de valor máximo local de
ou de ponto de sela do gráfico de
.
(e) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
?
(a) Qual é o domínio natural de
(b) Mostre que
(c) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) de
(d) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local de
(e) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede:
– (a) domínio natural de ;
– (b) ausência de extremos absolutos (sugestão: olhar );
– (c) pontos críticos;
– (d) classificação desses pontos ( ,
ou sela);
– (e) valores dos extremos locais, se houver.
O conteúdo necessário envolve domínio de log, limites unilaterais, cálculo de gradiente e Hessiana para classificação de pontos críticos.
– (a) domínio natural de
– (b) ausência de extremos absolutos (sugestão: olhar
– (c) pontos críticos;
– (d) classificação desses pontos (
– (e) valores dos extremos locais, se houver.
O conteúdo necessário envolve domínio de log, limites unilaterais, cálculo de gradiente e Hessiana para classificação de pontos críticos.
Passo 2
Para achar o domínio natural, lembramos que
só está definido se
. Aqui
, logo exigimos
Isto exclui apenas o ponto
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Para mostrar que não há extremos absolutos, restringimos a curva
,
. Nesse caso
Quando
,
.
Quando ,
.
Logo não tem nem máximo absoluto nem mínimo absoluto no seu domínio.
Quando
Logo
Passo 4
Procuramos pontos críticos resolvendo
. Calculamos
A condição
dá
Como
, a segunda equação torna-se
O caso
não pertence ao domínio. Restam
Passo 5
Para classificar, usamos a Hessiana. As segundas derivadas são
com
. Em
e
temos
,
,
, logo
O determinante da Hessiana é
o que caracteriza ponto de sela.
Passo 6
Como ambos os pontos críticos têm
, são pontos de sela. Logo não há mínimos nem máximos locais.
Resposta
(a)
(b) Não há extremos absolutos, pois em temos
.
(c) Pontos críticos: e
.
(d) Ambos são pontos de sela .
(e) Não existem valores de máximos ou mínimos locais.
(b) Não há extremos absolutos, pois em
(c) Pontos críticos:
(d) Ambos são pontos de sela
(e) Não existem valores de máximos ou mínimos locais.