Questão 10 (Santa Casa - SP)
Dado o número complexo z=1-i, tem -se que \frac{1}{z^{2}} é igual a:
a) 2 i
b) i
c) \frac{1}{2} \mathrm{i}
d) -i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \displaystyle z = 1 - i e pede para calcular \displaystyle \frac{1}{z^{2}}.
As alternativas são:
a) \displaystyle 2i
b) \displaystyle i
c) \displaystyle \tfrac{1}{2}i
d) \displaystyle -i

Passo 2

Vou calcular primeiro z^{2} e depois tomar o inverso \displaystyle \frac{1}{z^{2}}. Esse método é o mais direto aqui porque elevar \displaystyle z ao quadrado é cálculo algébrico simples e em seguida basta simplificar uma fração com número complexo.

Passo 3

Lembrete rápido sobre multiplicação de números complexos: se temos \displaystyle (a+bi)(c+di), o produto é
(ac-bd) + (ad+bc)i,
pois usamos a regra distributiva e i^{2}=-1. Aqui a,b,c,d são números reais que representam as partes real e imaginária dos complexos.

Passo 4

Aplicando isso a \displaystyle z^{2}=(1-i)^{2}:
(1-i)^{2} = 1^{2} + 2\cdot 1\cdot(-i) + (-i)^{2} = 1 - 2i + i^{2}.
Como i^{2}=-1, temos
1 - 2i + i^{2} = 1 - 2i - 1 = -2i.
Logo \displaystyle z^{2} = -2i.

Passo 5

Agora temos \displaystyle \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{-2i}. Para simplificar uma fração com número complexo no denominador podemos usar a fórmula geral
\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}},
que vem de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado a-bi. Aqui podemos ver -2i como 0+(-2)i, ou simplificar diretamente multiplicando numerador e denominador por i. Usando a visão a=0 e b=-2 na fórmula:
\frac{1}{-2i}=\frac{0-(-2)i}{0^{2}+(-2)^{2}}=\frac{2i}{4}=\frac{1}{2}i.

Passo 6

Portanto o valor de \displaystyle \frac{1}{z^{2}} é \displaystyle \tfrac{1}{2}i, que corresponde à alternativa (c). Força que você tá indo bem — é só praticar esses passos que entra na prova!

Resposta

(c) \displaystyle \tfrac{1}{2}i

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