Questão 09: Considere um consumidor que prefere gastar todo o seu orçamento em um único bem, mesmo que a linha de orçamento permita comprar mais de um bem. Explique por que isso configura uma solução de canto e exemplifique com um caso prático, como a escolha entre roupas e filmes.

Passo 1

O enunciado descreve um consumidor que, mesmo podendo comprar uma combinação de dois bens \,(x_1,x_2), prefere gastar todo o orçamento em apenas um deles. O conteúdo aqui é otimização de utilidade sob restrição orçamental e o conceito de solução de canto, que ocorre quando o máximo de utilidade fica numa “ponta” do conjunto orçamentário, isto é, num dos eixos.

Passo 2

Vamos formalizar a restrição orçamental e as preferências extremas. Suponha que o preço do bem 1 seja \,p_1, do bem 2 seja \,p_2 e a renda seja \,m. Então
p_1 x_1 + p_2 x_2 = m.
Se o consumidor só valoriza o bem 1 (por exemplo, só gosta de roupas), podemos representar a utilidade como
u(x_1,x_2) = x_1.
Note que u não aumenta se x_2 cresce: tudo o que importa é x_1.

Passo 3

Para encontrar o ótimo, normalmente igualaríamos a taxa marginal de substituição (MRS) ao preço relativo \,p_1/p_2. Aqui a MRS é
\text{MRS} = \frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2} = \frac{1}{0} = +\infty,
pois \partial u/\partial x_2 = 0. Como \text{MRS} > p_1/p_2, a condição de primeiro ordem para um ótimo interior (onde MRS = preço relativo) não se satisfaz em nenhum ponto interno do segmento orçamentário. O consumidor, para “alcançar” utilidade máxima, vai ao canto onde x_2=0 e gasta tudo em x_1, de modo que
x_1^* = \frac{m}{p_1}, \quad x_2^* = 0.

Passo 4

Esse é exatamente um exemplo de solução de canto: o ótimo fica num dos extremos da fronteira de possibilidade de consumo (no eixo x_1 ou x_2). No caso simétrico de alguém que só gosta de filmes (bem 2), a utilidade seria u(x_1,x_2)=x_2 e o canto ótimo seria
x_1^*=0,\quad x_2^*=\frac{m}{p_2}.

Resposta

A solução de canto ocorre porque a MRS é infinita (ou zero) e nunca iguala o preço relativo no interior da fronteira orçamentária, empurrando o ótimo para um dos eixos. Por exemplo, se o consumidor só aprecia roupas, gastará toda a renda em roupas ( x_1=m/p_1, x_2=0); se só gosta de filmes, gastará tudo em filmes ( x_1=0, x_2=m/p_2).

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