Questão 3 (6 pontos) Em cada caso, calcule a derivada da função f(x) dada.
f(x)=4 x^{3} \tan x+\frac{4 x-7}{x^{3}+9 x^{2}-5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=4x^{3}\tan x+\frac{4x-7}{x^{3}+9x^{2}-5}.
Vamos usar a regra do produto e a regra do quociente, lembrando que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 4x^{3}\tan x com a regra do produto, onde
u(x)=4x^{3},\quad v(x)=\tan x,
u'(x)=12x^{2},\quad v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x,
temos
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\tan x\bigr) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =12x^{2}\tan x+4x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Derivando o segundo termo
\dfrac{4x-7}{x^{3}+9x^{2}-5} pela regra do quociente, onde
u(x)=4x-7,\quad v(x)=x^{3}+9x^{2}-5,
u'(x)=4,\quad v'(x)=3x^{2}+18x,
a derivada é
\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{4\bigl(x^{3}+9x^{2}-5\bigr)-(4x-7)(3x^{2}+18x)} {\bigl(x^{3}+9x^{2}-5\bigr)^{2}}.
O numerador simplifica-se assim:
4x^{3}+36x^{2}-20 -\bigl(12x^{3}+72x^{2}-21x^{2}-126x\bigr) =-8x^{3}-15x^{2}+126x-20.
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\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{4x-7}{x^{3}+9x^{2}-5}\Bigr) =\frac{-8x^{3}-15x^{2}+126x-20}{\bigl(x^{3}+9x^{2}-5\bigr)^{2}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =12x^{2}\tan x+4x^{3}\operatorname{sec}^{2}x +\frac{-8x^{3}-15x^{2}+126x-20}{\bigl(x^{3}+9x^{2}-5\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) =12x^{2}\tan x+4x^{3}\operatorname{sec}^{2}x +\frac{-8x^{3}-15x^{2}+126x-20}{\bigl(x^{3}+9x^{2}-5\bigr)^{2}}.

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