Questão 09) Uma maneira simples de classificar um material como condutor ou dielétrico consiste em distribuir localmente uma certa quantidade de cargas elétricas no seu interior e avaliar a taxa de variação temporal do campo elétrico resultante, à medida que a distribuição de cargas se uniformiza. Um modelo matemático para o comportamento do campo elétrico interno é dado pela seguinte equação:
d E(t)d t=-lambda E(t),
sendo lambda[s^-1] uma constante que depende do material e E(t) o valor do campo elétrico em um instante de tempo t. a) Encontre a equação que descreve a variação do campo elétrico com o tempo e b) escreva a equação em termos do tempo de relaxação tau=1 / lambda [s] e discuta o significado do tempo de relaxação.
c) Considere um material A, com tempo de relaxação de 1,55 times 10^-19 s, em um material B, com tempo de relaxação de 2,65 times 10^-7 s. Construa a curva de decaimento do campo elétrico (gráfico da função E(t) contra o tempo) para cada material e, com base nas ordens de grandeza dos tempos de relaxação, identifique o material que melhor se aproxima de um condutor, e aquele que melhor se comporta como um dielétrico. Assuma E(t=0)=E0 com condição inicial para o campo elétrico. Base do sistema de logaritmos naturais ( e=2.71828 ).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem que modela o decaimento do campo elétrico interno
dE(t)dt = -lambda,E(t),
onde lambda é uma constante do material. Precisamos:
a) encontrar a solução E(t),
b) reescrevê-la em termos do tempo de relaxação tau = 1/lambda e discutir o significado físico de tau,
c) para tauA = 1,55times10^-19,s e tauB = 2,65times10^-7,s, traçar qualitativamente E(t) e dizer qual material se aproxima de condutor e qual de dielétrico.

Passo 2

Para resolver
dEdt = -lambda E,
fazemos separação de variáveis:
dEE = -lambda,dt
Integrando ambos os lados,
integral dEE = -lambda integral dt Longrightarrow ln|E| = -lambda t + C
Aplicando a condição inicial E(0)=E0, obtemos C = ln E0. Logo, em forma explícita,
E(t) = E0,e^-lambda t

Passo 3

Definindo o tempo de relaxação tau = 1/lambda, temos lambda = 1/tau. Substituindo em E(t),
E(t) = E0,e^-t/tau
O parâmetro tau é o tempo característico em que E decai a 1/e ( approx37%) de E0. Quanto menor tau, mais rápido o campo se anula (comportamento de condutor); quanto maior tau, mais lento o decaimento (comportamento de dielétrico).

Passo 4

Para os dois materiais:
EA(t) = E0,expl(-t/tauAr) com;tauA = 1,55times10^-19,s,
EB(t) = E0,expl(-t/tauBr) com;tauB = 2,65times10^-7,s
Em um gráfico de E/E0 vs.\ t no eixo linear, a curva de A cai praticamente a zero em tempos da ordem de 10^-19,s, enquanto a de B leva sim10^-7,s para decair.

Passo 5

Comparando as ordens de grandeza de tau:
  • Material A ( tauAsim10^-19,s) relaxa quase instantaneamente, como um condutor.
  • Material B ( tauBsim10^-7,s) retém o campo por mais tempo, comportando-se como dielétrico.

Resposta

a) E(t)=E0,e^-lambda t
b) Em termos de tau=1/lambda: E(t)=E0,e^-t/tau O tempo de relaxação tau é o intervalo para o campo cair a 1/e de E0 e mede a rapidez do decaimento: tau pequeno tocondutor, tau grande todielétrico.
c) A curva de A ( tauA=1,55times10^-19,s) decai quase instantaneamente to material muito condutor. A curva de B ( tauB=2,65times10^-7,s) decai mais devagar to material dielétrico.

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