Questão 09) Uma maneira simples de classificar um material como condutor ou dielétrico consiste em distribuir localmente uma certa quantidade de cargas elétricas no seu interior e avaliar a taxa de variação temporal do campo elétrico resultante, à medida que a distribuição de cargas se uniformiza. Um modelo matemático para o comportamento do campo elétrico interno é dado pela seguinte equação:
sendo
uma constante que depende do material e
o valor do campo elétrico em um instante de tempo
. a) Encontre a equação que descreve a variação do campo elétrico com o tempo e b) escreva a equação em termos do tempo de relaxação
[s] e discuta o significado do tempo de relaxação.
c) Considere um material
, com tempo de relaxação de
, em um material
, com tempo de relaxação de
s. Construa a curva de decaimento do campo elétrico (gráfico da função
contra o tempo) para cada material e, com base nas ordens de grandeza dos tempos de relaxação, identifique o material que melhor se aproxima de um condutor, e aquele que melhor se comporta como um dielétrico. Assuma
com condição inicial para o campo elétrico. Base do sistema de logaritmos naturais (
).
c) Considere um material
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem que modela o decaimento do campo elétrico interno
onde
é uma constante do material. Precisamos:
a) encontrar a solução ,
b) reescrevê-la em termos do tempo de relaxação e discutir o significado físico de
,
c) para e
, traçar qualitativamente
e dizer qual material se aproxima de condutor e qual de dielétrico.
a) encontrar a solução
b) reescrevê-la em termos do tempo de relaxação
c) para
Passo 2
Para resolver
fazemos separação de variáveis:
Integrando ambos os lados,
Aplicando a condição inicial
, obtemos
. Logo, em forma explícita,
Passo 3
Definindo o tempo de relaxação
, temos
. Substituindo em
,
O parâmetro
é o tempo característico em que
decai a
(
) de
. Quanto menor
, mais rápido o campo se anula (comportamento de condutor); quanto maior
, mais lento o decaimento (comportamento de dielétrico).
Passo 4
Para os dois materiais:
Em um gráfico de
vs.\
no eixo linear, a curva de
cai praticamente a zero em tempos da ordem de
, enquanto a de
leva
para decair.
Passo 5
Comparando as ordens de grandeza de
:
- Material
( ) relaxa quase instantaneamente, como um condutor. - Material
( ) retém o campo por mais tempo, comportando-se como dielétrico.
Resposta
a)
b) Em termos de :
O tempo de relaxação
é o intervalo para o campo cair a
de
e mede a rapidez do decaimento:
pequeno
condutor,
grande
dielétrico.
c) A curva de (
) decai quase instantaneamente
material muito condutor. A curva de
(
) decai mais devagar
material dielétrico.
b) Em termos de
c) A curva de