Questão 11 (Viçosa - MG)
A parte real de \frac{2+3 i}{2-3 i} é:
a) -\frac{2}{13}
b) -\frac{5}{13}
c) -\frac{1}{13}
d) -\frac{4}{13}

Passo 1

O enunciado pede: “A parte real de \dfrac{2+3 i}{2-3 i} é:” e apresenta as alternativas (a)–(d). As informações dadas são: o numerador é \,2+3i, e o denominador é \,2-3i.

Passo 2

Vamos usar a ideia de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Primeiro, o que é conjugado? Para um número complexo da forma \,a+bi, o conjugado é \,a-bi. A propriedade útil é que
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
ou seja, o produto de um complexo pelo seu conjugado é um número real (não tem parte imaginária). Exemplo rápido: o conjugado de \,3+4i é \,3-4i e
(3+4i)(3-4i)=3^2+4^2=9+16=25.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: o conjugado do denominador \,2-3i é \,2+3i. Multiplicamos numerador e denominador por \,2+3i:
\frac{2+3i}{2-3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i} = \frac{(2+3i)^2}{(2-3i)(2+3i)}.

Passo 4

Calculemos o denominador usando a propriedade do conjugado:
(2-3i)(2+3i)=2^2+(3)^2=4+9=13.
(Aqui usei que (a-b)(a+b)=a^2-b^2 e que (3i)^2=-9, portanto 4-(-9)=13.)

Passo 5

Calculemos o numerador expandindo o quadrado:
(2+3i)^2 = 2^2 + 2\cdot2\cdot3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2.
Como i^2=-1, temos 9i^2 = 9(-1) = -9. Logo
(2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i.

Passo 6

Agora colocamos numerador e denominador juntos:
\frac{2+3i}{2-3i} = \frac{-5+12i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{12}{13}\,i.
A parte real de um número complexo x+yi é o coeficiente x. Portanto a parte real aqui é -\dfrac{5}{13}.

Resposta

b) -\dfrac{5}{13}

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