Questão 09.
a) O vapor de água reage a temperaturas próximas de 800^{\circ} \mathrm{C} e ao passar por coque quente (uma forma de carbono obtida a partir do carvão) de acordo com a reação em equilíbrio:
\mathrm{C}(\mathrm{~s})+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons \mathrm{CO}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})
A mistura gasosa resultante representa um combustível industrial chamado de gás de água.
\mathrm{PV}=\mathrm{nRT}, \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~Pa} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1},
A 800^{\circ} \mathrm{C} a constante de equilíbrio para essa reação é \mathrm{K}_{\mathrm{p}}=14,1. Quais são as pressões parciais de todos os gases no equilíbrio da mistura a essa temperatura se 0,100 \mathrm{~mol} de água é colocado para reagir com coque em um recipiente de 1,00 \mathrm{~L} ?

Passo 1

O enunciado dá a reação em equilíbrio
\mathrm{C}(\mathrm{s})+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons \mathrm{CO}(\mathrm{g})+\mathrm{H}_{2}(\mathrm{g})
e pede as pressões parciais dos gases no equilíbrio a 800^\circ\mathrm{C} quando 0,100 mol de \mathrm{H}_2\mathrm{O} (g) são colocados em um recipiente de 1,00\\ \mathrm{L} contendo coque em excesso. As constantes e dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{Constante de equilíbrio: } K_p = 14{,}1,\\\ &\text{Lei dos gases ideais: } PV=nRT,\\\ & R = 8{,}314\\ \mathrm{m^3\,Pa\,mol^{-1}\,K^{-1}},\\\ & T = 800^\circ\mathrm{C} = 1073\\ \mathrm{K},\\\ & n_{0}(\mathrm{H_2O}) = 0{,}100\\ \mathrm{mol},\\\ & V = 1{,}00\\ \mathrm{L} = 1{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. \end{aligned}í
As incógnitas são as pressões parciais no equilíbrio de \mathrm{H_2O}, \mathrm{CO} e \mathrm{H_2}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a pressão parcial inicial de \mathrm{H_2O} (antes do equilíbrio), usando a lei dos gases ideais. A pressão inicial P_0 é
P_0=\frac{n_0 R T}{V}.
Substituindo os valores:
P_0=\frac{0{,}100\times 8{,}314 \times 1073}{1{,}00\times 10^{-3}}\\ \mathrm{Pa}=892092{,}2\\ \mathrm{Pa}.
É conveniente trabalhar com K_p e pressões em atmosferas (unidade comum para K_p), assim convertemos para atm:
P_0=\frac{892092{,}2}{101325}\\ \mathrm{atm}=8{,}8046\\ \mathrm{atm}.
(Se preferir, podemos manter tudo em Pa, mas como K_p foi fornecido numericamente como 14{,}1 usaremos atm para consistência.)

Passo 3

Definimos a extensão da reação por x (mol de \mathrm{H_2O} consumidos). Assim, os mols no equilíbrio serão:
\begin{aligned} n(\mathrm{H_2O}) &= n_0 - x = 0{,}100 - x,\\\ n(\mathrm{CO}) &= x,\\\ n(\mathrm{H_2}) &= x. \end{aligned}
Como o volume e a temperatura são constantes, as pressões parciais são proporcionais aos mols: \,P_i = \dfrac{n_i RT}{V}\,. Logo podemos escrever cada pressão em função de P_0:
\begin{aligned} P_{\mathrm{H_2O}} &= P_0\frac{n_0-x}{n_0},\\[4pt] P_{\mathrm{CO}} &= P_0\frac{x}{n_0},\\[4pt] P_{\mathrm{H_2}} &= P_0\frac{x}{n_0}. \end{aligned}
Observação importante: o sólido \mathrm{C}(\mathrm{s}) não aparece na expressão de K_p.]

Passo 4

A expressão de K_p para a reação é
K_p=\frac{P_{\mathrm{CO}}\;P_{\mathrm{H_2}}}{P_{\mathrm{H_2O}}}.
Substituindo as expressões em função de x:
K_p=\frac{\left(P_0\frac{x}{n_0}\right)\left(P_0\frac{x}{n_0}\right)}{P_0\frac{n_0-x}{n_0}} =\frac{P_0\,x^2}{n_0\,(n_0-x)}.
Agora colocamos os números para montar a equação em x. Com n_0=0{,}100\\ \mathrm{mol} e P_0=8{,}8046\\ \mathrm{atm}:
14{,}1 = \frac{8{,}8046\;x^2}{0{,}100\,(0{,}100-x)}.
Multiplicando e rearranjando obtemos uma equação quadrática em x. Desenvolvendo:
14{,}1\cdot 0{,}100\cdot(0{,}100-x)=8{,}8046\,x^2
1{,}41\cdot(0{,}100-x)=8{,}8046\,x^2
0{,}141 - 1{,}41\,x - 8{,}8046\,x^2 = 0
ou equivalentemente
8{,}8046\,x^2 + 1{,}41\,x - 0{,}141 = 0.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática a x^2 + b x + c = 0 com a=8{,}8046, b=1{,}41, c=-0{,}141 usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 1{,}41^2 - 4\cdot 8{,}8046\cdot(-0{,}141)=1{,}9881 + 4{,}9658=6{,}9539.
\sqrt{\Delta}=2{,}637.
Tomando a raiz positiva (a outra raiz é negativa e física impossível para o consumo de mols):
x=\frac{-1{,}41 + 2{,}637}{2\cdot 8{,}8046}=\frac{1{,}227}{17{,}6092}=0{,}06968\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Com x=0{,}06968\\ \mathrm{mol} calculamos os mols no equilíbrio:
\begin{aligned} n_{\mathrm{H_2O}} &= 0{,}100 - 0{,}06968 = 0{,}03032\\ \mathrm{mol},\\[4pt] n_{\mathrm{CO}} &= 0{,}06968\\ \mathrm{mol},\\[4pt] n_{\mathrm{H_2}} &= 0{,}06968\\ \mathrm{mol}. \end{aligned}
Agora as pressões parciais no equilíbrio (usando proporcionalidade com P_0):
\begin{aligned} P_{\mathrm{H_2O}} &= P_0\frac{n_{\mathrm{H_2O}}}{n_0}=8{,}8046\cdot\frac{0{,}03032}{0{,}100}=2{,}669\\ \mathrm{atm},\\[4pt] P_{\mathrm{CO}} &= 8{,}8046\cdot\frac{0{,}06968}{0{,}100}=6{,}135\\ \mathrm{atm},\\[4pt] P_{\mathrm{H_2}} &= 6{,}135\\ \mathrm{atm}. \end{aligned}
Se preferir em pascal, multiplicamos por 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}:
\begin{aligned} P_{\mathrm{H_2O}} &= 2{,}669\times 101325 = 270436\\ \mathrm{Pa},\\\ P_{\mathrm{CO}} &= 6{,}135\times 101325 = 621629\\ \mathrm{Pa},\\\ P_{\mathrm{H_2}} &= 621629\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
(Arredondei os valores mantendo três algarismos significativos compatíveis com os dados do problema.)]

Resposta

P_{\mathrm{H_2O}} = 2{,}67\\ \mathrm{atm} = 2{,}70\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
P_{\mathrm{CO}} = 6{,}14\\ \mathrm{atm} = 6{,}22\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
P_{\mathrm{H_2}} = 6{,}14\\ \mathrm{atm} = 6{,}22\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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