Questão 3.
(1.0pt) Encontre uma equação cartesiana reduzida e descreva a curva plana que em coodenadas polares (r, theta) tem equação r=21-cos (theta). Suponha que o polo O esteja no centro (0,0) do plano cartesiano.

Passo 1

Neste exercício temos a equação polar r = 21 - cos(theta). O conteúdo é conversão de coordenadas polares para cartesianas e classificação de cônicas. Vamos precisar de x = rcos(theta), y = rsin(theta) e r^2 = x^2 + y^2.

Passo 2

Substituindo cos(theta) = x/r na equação r = 21 - cos(theta) temos
r = 21 - x/r
Multiplicando o denominador obtemos
rl(1 - tfracxrr) = 2
ou
r - x = 2
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r = x + 2

Passo 3

Elevando ao quadrado usamos r^2 = x^2 + y^2 e obtemos
x^2 + y^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
que simplifica para
y^2 = 4x + 4 = 4(x + 1)

Passo 4

Reconhecemos que y^2 = 4(x+1) é a forma reduzida de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, vértice em (-1,0) e parâmetro focal p = 1. O foco está em (0,0) e a diretriz é x = -2. A parábola abre para a direita.

Resposta

A equação cartesiana reduzida é y^2 = 4(x+1) e a curva é uma parábola com vértice em (-1,0), eixo paralelo ao eixo x, foco em (0,0) e diretriz x = -2, aberta para a direita.

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